Sistemas de ecuaciones dependientes: expresión general

**a) Demostrar que hay infinitos números que cumplen estas condiciones, encontrando una expresión general de la solución. (1,5 puntos)** En primer lugar, traducimos las frases del enunciado a ecuaciones matemáticas utilizando las variables $x, y, z$: 1. El primero es la suma de los otros dos: $x = y + z$ 2. El segundo es la mitad del primero más el triple del tercero: $y = \frac{x}{2} + 3z$ Para trabajar con el sistema de forma estándar, reordenamos las ecuaciones pasando todas las incógnitas al término de la izquierda: $$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ -\frac{1}{2}x + y - 3z = 0 \end{cases}$$ Multiplicamos la segunda ecuación por 2 para eliminar la fracción: $$\begin{cases} x - y - z = 0 \\ -x + 2y - 6z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Siempre es recomendable trabajar con coeficientes enteros multiplicando la ecuación por el denominador común para evitar errores de cálculo.

Analizamos la matriz de coeficientes ($A$) y la matriz ampliada ($A^*$) del sistema homogéneo: $$A = \begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ -1 & 2 & -6 \end{pmatrix}$$ Calculamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} = (1 \cdot 2) - (-1 \cdot -1) = 2 - 1 = 1 \neq 0$$ Por lo tanto, el rango de la matriz $A$ es $\text{rg}(A) = 2$. Dado que es un sistema homogéneo (los términos independientes son cero), el rango de la matriz ampliada también es $\text{rg}(A^*) = 2$. Como el número de incógnitas es $n=3$, aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3$ (nº de incógnitas). Concluimos que el sistema es **Compatible Indeterminado**, lo que significa que tiene **infinitas soluciones**. 💡 **Tip:** Recuerda que un sistema homogéneo siempre es compatible; si el rango es menor que el número de incógnitas, tendrá infinitas soluciones además de la solución trivial $(0,0,0)$.

Para encontrar la expresión general, resolvemos el sistema en función de un parámetro. Dado que el rango es 2, podemos fijar una de las variables (por ejemplo, $z$) como parámetro $\lambda$: Sea $z = \lambda, \quad \lambda \in \mathbb{R}$. El sistema queda: $$\begin{cases} x - y = \lambda \\ -x + 2y = 6\lambda \end{cases}$$ Sumamos ambas ecuaciones para eliminar la $x$: $$(x - x) + (-y + 2y) = \lambda + 6\lambda \implies y = 7\lambda$$ Sustituimos $y$ en la primera ecuación para hallar $x$: $$x - 7\lambda = \lambda \implies x = 8\lambda$$ La expresión general de la solución es: $$\boxed{\begin{cases} x = 8\lambda \\ y = 7\lambda \\ z = \lambda \end{cases} \quad \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$

**b) Encontrar tres números concretos que cumplan estas condiciones. (0,5 puntos)** Para obtener una solución concreta, simplemente debemos asignar un valor real cualquiera al parámetro $\lambda$. Por ejemplo, si tomamos **$\lambda = 1$**, obtenemos los siguientes valores: - $x = 8(1) = 8$ - $y = 7(1) = 7$ - $z = 1$ Comprobamos si cumplen las condiciones originales: - $x = y + z \implies 8 = 7 + 1$ (Correcto) - $y = \frac{x}{2} + 3z \implies 7 = \frac{8}{2} + 3(1) = 4 + 3 = 7$ (Correcto) ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 8, \quad y = 7, \quad z = 1}$$