Proporción de obesidad en una distribución normal

Definimos la variable aleatoria $X$ como el índice de masa corporal (IMC) de las personas adultas de un determinado país. Según el enunciado, esta variable sigue una distribución normal con media $\mu = 26$ y desviación típica $\sigma = 6$: $$X \sim N(26, 6)$$ 💡 **Tip:** En una distribución normal $N(\mu, \sigma)$, el primer valor indica el centro de la campana (media) y el segundo la dispersión de los datos (desviación típica).

El problema nos pide hallar la proporción de personas adultas obesas. Sabemos que se considera obesa a una persona si su IMC es superior a 35. Por tanto, debemos calcular la probabilidad: $$P(X \gt 35)$$ 💡 **Tip:** En problemas de distribuciones continuas, la proporción de la población se corresponde con la probabilidad de que un individuo elegido al azar cumpla la condición especificada.

Para calcular probabilidades en una normal no estándar, debemos transformar la variable $X$ en una normal estándar $Z \sim N(0, 1)$ mediante la fórmula de tipificación: $$Z = \frac{X - \mu}{\sigma}$$ Sustituyendo nuestros valores en la expresión de la probabilidad: $$P(X \gt 35) = P\left( Z \gt \frac{35 - 26}{6} \right)$$ $$P(X \gt 35) = P\left( Z \gt \frac{9}{6} \right)$$ $$P(X \gt 35) = P(Z \gt 1.5)$$ 💡 **Tip:** La tipificación permite comparar cualquier distribución normal con la tabla de la normal estándar $N(0, 1)$.

Las tablas de la distribución normal estándar suelen proporcionar la probabilidad acumulada hacia la izquierda, es decir, $P(Z \le k)$. Para hallar el área a la derecha (nuestro caso), usamos la propiedad del suceso contrario: $$P(Z \gt 1.5) = 1 - P(Z \le 1.5)$$ Buscando el valor $1.5$ en la tabla $N(0, 1)$ obtenemos: $$P(Z \le 1.5) = 0.9332$$ Calculamos la diferencia: $$P(X \gt 35) = 1 - 0.9332 = 0.0668$$ 💡 **Tip:** Recuerda que debido a la simetría de la campana y a que el área total es 1, $P(Z \gt k) = 1 - P(Z \le k)$.

La probabilidad obtenida representa la proporción de adultos en dicho país con un IMC superior a 35. Por tanto, la proporción de personas adultas obesas es **0.0668** (lo que equivale a un **6.68%** de la población adulta). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{0.0668}$$