Cálculo de límites por L'Hôpital e integración indefinida

**a) Calcular $\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\ln(1+x)}$. (1 punto)** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\ln(1+x)} = \frac{e^0 - \cos 0}{\ln(1+0)} = \frac{1 - 1}{\ln 1} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo **$0/0$**, lo que nos permite aplicar la **Regla de L'Hôpital**. 💡 **Tip:** La Regla de L'Hôpital establece que si $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$, entonces $\lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \to a} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, siempre que este último límite exista.

Derivamos el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(e^x - \cos x)' = e^x - (-\sin x) = e^x + \sin x$ - Derivada del denominador: $(\ln(1+x))' = \frac{1}{1+x}$ Aplicamos el límite a la nueva expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - \cos x}{\ln(1+x)} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{\frac{1}{1+x}}$$ Sustituimos de nuevo $x = 0$: $$\lim_{x \to 0} \frac{e^x + \sin x}{\frac{1}{1+x}} = \frac{e^0 + \sin 0}{\frac{1}{1+0}} = \frac{1 + 0}{1} = 1$$ ✅ **Resultado del límite:** $$\boxed{1}$$

**b) Calcular $\int \frac{(\ln x)^2}{x} dx$. (1 punto)** Observamos la integral y nos damos cuenta de que la expresión se puede reescribir para identificar una función y su derivada: $$\int \frac{(\ln x)^2}{x} dx = \int (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx$$ Esta integral es de tipo **inmediato** (potencia de una función), ya que tiene la forma $\int [f(x)]^n \cdot f'(x) dx$, donde: - $f(x) = \ln x$ - $f'(x) = \frac{1}{x}$ - $n = 2$ 💡 **Tip:** Recuerda que la fórmula para integrar una potencia de una función es $\int [f(x)]^n f'(x) dx = \frac{[f(x)]^{n+1}}{n+1} + C$ (para $n \neq -1$).

Aplicamos directamente la fórmula de integración para potencias: $$\int (\ln x)^2 \cdot \frac{1}{x} dx = \frac{(\ln x)^{2+1}}{2+1} + C = \frac{(\ln x)^3}{3} + C$$ No olvidamos añadir la constante de integración $C$, que representa a todas las posibles primitivas. ✅ **Resultado de la integral:** $$\boxed{\frac{(\ln x)^3}{3} + C}$$