Estudio completo y representación de la función $f(x) = xe^{-x}$

Para estudiar la función $f(x) = xe^{-x}$, primero analizamos su dominio y comportamiento en el infinito. **1. Dominio de definición:** La función es el producto de un polinomio ($x$) y una función exponencial ($e^{-x}$), ambas definidas para todo el conjunto de los números reales. Por tanto: $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$ **2. Asíntotas:** - **Verticales:** Al ser el dominio $\mathbb{R}$ y ser una función continua, **no hay asíntotas verticales**. - **Horizontales:** Calculamos los límites en el infinito: - Cuando $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} xe^{-x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{e^x} = \left[ \frac{\infty}{\infty} \right]$$ Aplicamos la **regla de L'Hôpital**: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{1}{e^x} = 0 \implies \boxed{y = 0 \text{ es asíntota horizontal cuando } x \to +\infty}$$ - Cuando $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} xe^{-x} = (-\infty) \cdot e^{-(-\infty)} = (-\infty) \cdot (+\infty) = -\infty$$ No hay asíntota horizontal por la izquierda. - **Oblicuas:** Como hay asíntota horizontal por la derecha, no hay oblicua en ese lado. Por la izquierda ($x \to -\infty$): $$m = \lim_{x \to -\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to -\infty} \frac{xe^{-x}}{x} = \lim_{x \to -\infty} e^{-x} = +\infty$$ Al ser el límite infinito, **no hay asíntotas oblicuas**. 💡 **Tip:** Recuerda que si existe asíntota horizontal en un sentido ($\pm\infty$), no puede existir asíntota oblicua en ese mismo sentido.

Para determinar el crecimiento y decrecimiento, calculamos la primera derivada $f'(x)$: $$f'(x) = (1) \cdot e^{-x} + x \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(1 - x)$$ Igualamos a cero para encontrar los puntos críticos: $$f'(x) = 0 \iff e^{-x}(1 - x) = 0 \iff 1 - x = 0 \iff x = 1$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el punto crítico: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline 1-x & + & 0 & - \\ e^{-x} & + & + & + \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ \text{Monotonía} & \text{Creciente (\nearrow)} & \text{Máximo} & \text{Decreciente (\searrow)} \end{array} $$ - **Intervalo de crecimiento:** $\boxed{(-\infty, 1)}$ - **Intervalo de decrecimiento:** $\boxed{(1, +\infty)}$ **Extremo relativo:** En $x = 1$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. Ordenada: $f(1) = 1 \cdot e^{-1} = \frac{1}{e} \approx 0.37$. $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(1, \frac{1}{e}\right)}$$

Calculamos la segunda derivada $f''(x)$ a partir de $f'(x) = (1 - x)e^{-x}$: $$f''(x) = (-1) \cdot e^{-x} + (1 - x) \cdot (-e^{-x}) = e^{-x}(-1 - 1 + x) = e^{-x}(x - 2)$$ Igualamos a cero para hallar posibles puntos de inflexión: $$f''(x) = 0 \iff e^{-x}(x - 2) = 0 \iff x - 2 = 0 \iff x = 2$$ Estudiamos el signo de $f''(x)$: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 2) & 2 & (2, +\infty) \\ \hline x-2 & - & 0 & + \\ e^{-x} & + & + & + \\ \hline f''(x) & - & 0 & + \\ \text{Curvatura} & \text{Cóncava (\cap)} & \text{P. Inflexión} & \text{Convexa (\cup)} \end{array} $$ - **Intervalo de concavidad ($\cap$):** $\boxed{(-\infty, 2)}$ - **Intervalo de convexidad ($\cup$):** $\boxed{(2, +\infty)}$ **Punto de inflexión:** En $x = 2$ la curvatura cambia, por lo que hay un punto de inflexión. Ordenada: $f(2) = 2 \cdot e^{-2} = \frac{2}{e^2} \approx 0.27$. $$\boxed{\text{Punto de inflexión en } \left(2, \frac{2}{e^2}\right)}$$ 💡 **Tip:** En muchos libros de texto, se llama cóncava a la forma de "U" y convexa a la forma de campana. Sin embargo, en la Selectividad española es común llamar cóncava a $f'' \lt 0$ (forma $\cap$) y convexa a $f'' \gt 0$ (forma $\cup$).

Para esbozar la gráfica, utilizamos toda la información obtenida: 1. Pasa por el origen $(0,0)$ pues $f(0)=0$. 2. Crece hasta el máximo en $(1, 0.37)$. 3. Decrece a partir de ahí, pasando por el punto de inflexión en $(2, 0.27)$. 4. Se aproxima al eje $X$ ($y=0$) cuando $x \to +\infty$ sin llegar a tocarlo. 5. Hacia la izquierda ($x \to -\infty$), la función tiende a $-\infty$. Representamos la función siguiendo estos puntos clave.