Posición relativa de recta y plano. Planos paralelos y distancias

**a) Determinar la posición relativa de $r$ y $\pi$. (0,8 puntos)** Primero, extraemos el punto y el vector director de la recta $r$ a partir de su ecuación continua, y el vector normal del plano $\pi$ de su ecuación general. La recta viene dada por $r \equiv \frac{x - 1}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z - 1}{1}$. Sus elementos son: - Punto de la recta: $P_r(1, -1, 1)$ - Vector director: $\vec{v}_r = (1, 2, 1)$ El plano es $\pi \equiv x - y + z = 0$. Su elemento característico es: - Vector normal: $\vec{n}_\pi = (1, -1, 1)$ 💡 **Tip:** En la ecuación continua $\frac{x-x_0}{v_1} = \frac{y-y_0}{v_2} = \frac{z-z_0}{v_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(v_1, v_2, v_3)$.

Para conocer la posición relativa, estudiamos si el vector director de la recta es perpendicular al vector normal del plano mediante su producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\pi = (1, 2, 1) \cdot (1, -1, 1) = (1)(1) + (2)(-1) + (1)(1) = 1 - 2 + 1 = 0.$$ Como el producto escalar es **cero**, los vectores son perpendiculares ($\vec{v}_r \perp \vec{n}_\pi$). Esto implica que la recta $r$ es **paralela al plano $\pi$** o está **contenida en él**. Para distinguir ambos casos, comprobamos si el punto $P_r(1, -1, 1)$ pertenece al plano $\pi$ sustituyendo sus coordenadas en la ecuación del plano: $$1 - (-1) + 1 = 1 + 1 + 1 = 3 \neq 0.$$ Como el punto no satisface la ecuación, la recta no está contenida en el plano. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La recta } r \text{ es paralela al plano } \pi}$$

**b) Hallar el plano paralelo a $\pi$ situado a la misma distancia de $r$ que $\pi$. (1,2 puntos)** Dado que $r$ es paralela a $\pi$, la distancia entre ellos es la misma que la distancia de cualquier punto de la recta al plano. Usamos $P_r(1, -1, 1)$ y $\pi \equiv x - y + z = 0$: $$d(r, \pi) = d(P_r, \pi) = \frac{|1 - (-1) + 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \frac{|3|}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \text{ unidades.}$$ 💡 **Tip:** La fórmula de la distancia de un punto $P(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$.

Buscamos un plano $\pi'$ paralelo a $\pi$. Al ser paralelos, compartirán el vector normal, por lo que su ecuación será de la forma: $$\pi' \equiv x - y + z + D = 0.$$ El enunciado indica que el plano $\pi'$ debe estar a la misma distancia de $r$ que $\pi$. Esto significa que $d(r, \pi') = d(r, \pi) = \sqrt{3}$. Calculamos la distancia de $P_r(1, -1, 1)$ a $\pi'$ e igualamos: $$\frac{|1 - (-1) + 1 + D|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2 + 1^2}} = \sqrt{3}$$ $$\frac{|3 + D|}{\sqrt{3}} = \sqrt{3} \implies |3 + D| = \sqrt{3} \cdot \sqrt{3} \implies |3 + D| = 3$$ Esto nos da dos posibles valores para $D$: 1. $3 + D = 3 \implies D = 0$. (Este corresponde al plano original $\pi$). 2. $3 + D = -3 \implies D = -6$. Por tanto, el plano paralelo buscado es aquel con $D = -6$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\pi' \equiv x - y + z - 6 = 0}$$ 💡 **Tip:** Geométricamente, la recta $r$ se encuentra en el medio de los dos planos paralelos $\pi$ y $\pi'$.