Determinantes y operaciones matriciales con parámetros

Para resolver la condición $|MA| = 2$, utilizaremos la propiedad de los determinantes que establece que el determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes. $$|MA| = |M| \cdot |A|$$ Calculamos primero el determinante de la matriz $A$: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 5 \end{vmatrix} = (1 \cdot 5) - (2 \cdot 2) = 5 - 4 = 1$$ Calculamos ahora el determinante de la matriz $M$ en función de los parámetros $a$ y $b$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{vmatrix} = (1 \cdot b) - (1 \cdot a) = b - a$$ Sustituimos en la condición dada: $$|M| \cdot |A| = 2 \implies (b - a) \cdot 1 = 2 \implies b - a = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para matrices cuadradas de la misma dimensión, $|A \cdot B| = |A| \cdot |B|$. Esto suele ser mucho más rápido que realizar la multiplicación de matrices y luego hallar el determinante. $$\boxed{b - a = 2}$$

Para la segunda condición, primero debemos realizar la suma de las matrices $M$ y $B$ elemento a elemento: $$M + B = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ a & b \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1+1 & 1+0 \\ a+1 & b+1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ a+1 & b+1 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el determinante de esta nueva matriz resultante: $$|M + B| = \begin{vmatrix} 2 & 1 \\ a+1 & b+1 \end{vmatrix} = 2 \cdot (b+1) - 1 \cdot (a+1)$$ Desarrollamos la expresión: $$|M + B| = 2b + 2 - a - 1 = 2b - a + 1$$ Igualamos al valor indicado en el enunciado: $$2b - a + 1 = 3 \implies 2b - a = 2$$ 💡 **Tip:** A diferencia del producto, el determinante de la suma **no** es la suma de los determinantes: $|M + B| \neq |M| + |B|$. Siempre hay que sumar las matrices primero. $$\boxed{2b - a = 2}$$

Disponemos de un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas ($a$ y $b$): $$\begin{cases} b - a = 2 & \text{(1)} \\ 2b - a = 2 & \text{(2)} \end{cases}$$ Podemos resolverlo fácilmente por el método de resta (reducción). Restamos la ecuación (1) a la ecuación (2): $$(2b - a) - (b - a) = 2 - 2$$ $$2b - a - b + a = 0$$ $$b = 0$$ Una vez obtenido el valor de $b$, sustituimos en la primera ecuación para hallar $a$: $$0 - a = 2 \implies -a = 2 \implies a = -2$$ Comprobamos en la segunda ecuación: $$2(0) - (-2) = 0 + 2 = 2$$ (Se cumple). ✅ **Resultado final:** $$\boxed{a = -2, \quad b = 0}$$