Cálculo del área bajo la curva f(x) = x cos x

**E4.- Calcular el área del recinto limitado por la gráfica de la función $f(x) = x \cos x$ y el eje de las $x$, cuando $x$ pertenece al intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$. (2 puntos)** Para calcular el área de un recinto limitado por una función y el eje $x$, primero debemos comprobar si la función cambia de signo en el intervalo dado $[0, \frac{\pi}{2}]$. Analizamos las raíces de $f(x) = x \cos x$ en el intervalo: - $x = 0$ (extremo del intervalo). - $\cos x = 0 \implies x = \frac{\pi}{2}$ (extremo del intervalo). En el interior del intervalo $(0, \frac{\pi}{2})$, tanto $x$ como $\cos x$ son positivos, por lo que $f(x) > 0$. Esto significa que el área viene dada directamente por la integral definida: $$A = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} x \cos x \, dx$$ 💡 **Tip:** El área de una región entre $f(x)$ y el eje $x$ es $\int_a^b |f(x)| \, dx$. Si la función es siempre positiva, no necesitamos el valor absoluto.

Para resolver la integral $\int x \cos x \, dx$, utilizamos el método de **integración por partes**. Elegimos los componentes según la regla ALPES: - $u = x \implies du = dx$ - $dv = \cos x \, dx \implies v = \sin x$ Aplicando la fórmula $\int u \, dv = uv - \int v \, du$: $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx$$ La integral de $\sin x$ es $-\cos x$, por lo tanto: $$\int x \cos x \, dx = x \sin x - (-\cos x) = x \sin x + \cos x + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda la regla de integración por partes: «**U**n **D**ía **V**i **U**na **V**aca **S**in (**-**) **V**estido **D**e **U**niformie». $$\boxed{F(x) = x \sin x + \cos x}$$

Ahora aplicamos la **Regla de Barrow** para calcular el valor del área en el intervalo $[0, \frac{\pi}{2}]$: $$A = \left[ x \sin x + \cos x \right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}$$ Evaluamos en el límite superior e inferior: - Para $x = \frac{\pi}{2}$: $$F\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2} \sin\left(\frac{\pi}{2}\right) + \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = \frac{\pi}{2}(1) + 0 = \frac{\pi}{2}$$ - Para $x = 0$: $$F(0) = 0 \cdot \sin(0) + \cos(0) = 0 + 1 = 1$$ Restamos los resultados: $$A = F\left(\frac{\pi}{2}\right) - F(0) = \frac{\pi}{2} - 1 \approx 0,5708 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{A = \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right) \text{ u}^2}$$