Estudio de monotonía, extremos y raíces de una función polinómica

Para determinar los intervalos de crecimiento y decrecimiento (monotonía) y los extremos relativos, primero debemos hallar la derivada de la función $f(x)$. Dada $f(x) = 3x^4 + x^3 - 1$, su derivada es: $$f'(x) = 12x^3 + 3x^2$$ Los puntos críticos se obtienen igualando la primera derivada a cero: $$12x^3 + 3x^2 = 0$$ Factorizamos para resolver la ecuación: $$3x^2(4x + 1) = 0$$ De aquí obtenemos dos posibles soluciones: 1. $3x^2 = 0 \implies \mathbf{x = 0}$ 2. $4x + 1 = 0 \implies \mathbf{x = -\frac{1}{4}}$ 💡 **Tip:** Recuerda que los puntos donde $f'(x) = 0$ son candidatos a ser máximos, mínimos o puntos de inflexión con tangente horizontal. $$\boxed{f'(x) = 12x^3 + 3x^2, \quad \text{puntos críticos: } x = 0, x = -1/4}$$

Analizamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por los puntos críticos: $(-\infty, -1/4)$, $(-1/4, 0)$ y $(0, +\infty)$. Notemos que $f'(x) = 3x^2(4x + 1)$. Dado que $3x^2 \ge 0$ para cualquier $x$, el signo de la derivada dependerá exclusivamente del factor $(4x + 1)$. **Tabla de signos de $f'(x)$:** $$\begin{array}{c|ccccc} x & (-\infty, -1/4) & -1/4 & (-1/4, 0) & 0 & (0, +\infty) \\ \hline 3x^2 & + & + & + & 0 & + \\ 4x+1 & - & 0 & + & + & + \\ \hline f'(x) & - & 0 & + & 0 & + \\ f(x) & \searrow & \min & \nearrow & \text{P.I.} & \nearrow \end{array}$$ Concluimos los intervalos de monotonía: - **Intervalo de decrecimiento:** $(-\infty, -1/4)$ donde $f'(x) \lt 0$. - **Intervalos de crecimiento:** $(-1/4, 0) \cup (0, +\infty)$. Al ser la función continua y no cambiar el signo de la derivada en $x=0$, podemos decir que crece en el intervalo **$(-1/4, +\infty)$**. ✅ **Resultado (Monotonía):** $$\boxed{\text{Decrece: } (-\infty, -1/4), \quad \text{Crece: } (-1/4, +\infty)}$$

Basándonos en el análisis anterior: - En $x = -1/4$, la función pasa de decrecer a crecer, por lo que hay un **mínimo relativo**. - En $x = 0$, la derivada es cero pero no hay cambio de signo, por lo que se trata de un punto de inflexión con tangente horizontal, no de un extremo relativo. Calculamos la ordenada del mínimo relativo: $$f\left(-\frac{1}{4}\right) = 3\left(-\frac{1}{4}\right)^4 + \left(-\frac{1}{4}\right)^3 - 1 = 3\left(\frac{1}{256}\right) - \frac{1}{64} - 1 = \frac{3}{256} - \frac{4}{256} - \frac{256}{256} = -\frac{257}{256} \approx -1.0039$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Mínimo relativo en: } \left(-\frac{1}{4}, -\frac{257}{256}\right)}$$

Para hallar el número de puntos en los que $f(x) = 0$, analizamos el comportamiento de la función en sus intervalos de monotonía aplicando el **Teorema de Bolzano**: 1. En el intervalo **$(-\infty, -1/4]$**: - La función es estrictamente decreciente. - $\lim_{x \to -\infty} f(x) = +\infty$. - $f(-1/4) = -257/256 \lt 0$. - Al haber un cambio de signo y ser continua, existe **exactamente una raíz** en este intervalo. 2. En el intervalo **$[-1/4, +\infty)$**: - La función es estrictamente creciente. - $f(-1/4) = -257/256 \lt 0$. - $\lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$. - Al haber un cambio de signo y ser continua, existe **exactamente una raíz** en este intervalo. 💡 **Tip:** El Teorema de Bolzano garantiza la existencia de al menos una raíz en un intervalo si la función es continua y cambia de signo en sus extremos. La monotonía estricta garantiza que esa raíz sea única. ✅ **Resultado (Número de raíces):** $$\boxed{\text{El número total de puntos donde } f(x) \text{ se anula es } 2}$$