Simetría de una recta respecto de un plano

Para determinar la simétrica de la recta $r$ respecto al plano $\pi$, lo primero es conocer su posición relativa. Extraemos un punto $P_r$ y el vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r \equiv \frac{x + 2}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 2}{1}$: - $P_r = (-2, 0, 2)$ - $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ Extraemos el vector normal del plano $\pi \equiv x - z + 2 = 0$: - $\vec{n_\pi} = (1, 0, -1)$ Comprobamos si son paralelos calculando el producto escalar $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi}$: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = (1, 1, 1) \cdot (1, 0, -1) = 1 + 0 - 1 = 0$$ Como el producto escalar es cero, la recta es paralela al plano o está contenida en él. Comprobamos si $P_r$ pertenece a $\pi$: $$(-2) - (2) + 2 = -2 \neq 0$$ La recta $r$ es **paralela** al plano $\pi$. Esto implica que su simétrica $s$ también será paralela al plano y tendrá el mismo vector director que $r$. 💡 **Tip:** Si una recta es paralela a un plano, su simétrica respecto a dicho plano también es paralela al plano y mantiene la misma dirección: $\vec{v_s} = \vec{v_r}$.

Dado que $r \parallel \pi$, la recta simétrica $s$ pasará por el punto $P_s$, que es el simétrico de $P_r$ respecto al plano $\pi$, y tendrá el mismo vector director que $r$. Pasos para hallar $P_s$: 1. Hallar una recta $t$ perpendicular a $\pi$ que pase por $P_r$. 2. Hallar el punto de corte $M$ entre $t$ y $\pi$ (este será el punto medio entre $P_r$ y $P_s$). 3. Calcular $P_s$ usando la fórmula del punto medio. $$\vec{v_s} = \vec{v_r} = (1, 1, 1)$$ 💡 **Tip:** No utilizaremos fórmulas directas de simetría, sino que construiremos el punto paso a paso para mayor claridad.

Construimos la recta $t$ que pasa por $P_r(-2, 0, 2)$ y es perpendicular a $\pi$. Su vector director será el vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (1, 0, -1)$. Ecuaciones paramétricas de $t$: $$t \equiv \begin{cases} x = -2 + \lambda \\ y = 0 \\ z = 2 - \lambda \end{cases}$$ Ahora buscamos el punto de intersección $M$ de la recta $t$ con el plano $\pi$ sustituyendo las coordenadas de $t$ en la ecuación de $\pi$: $$(-2 + \lambda) - (2 - \lambda) + 2 = 0$$ $$-2 + \lambda - 2 + \lambda + 2 = 0$$ $$2\lambda - 2 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituimos $\lambda = 1$ en las ecuaciones de $t$ para obtener $M$: $$x = -2 + 1 = -1$$ $$y = 0$$ $$z = 2 - 1 = 1$$ El punto de intersección (proyección de $P_r$ sobre el plano) es **$M(-1, 0, 1)$**.

$M$ es el punto medio del segmento $\overline{P_r P_s}$. Si $P_s = (x_s, y_s, z_s)$, se cumple: $$M = \frac{P_r + P_s}{2} \implies P_s = 2M - P_r$$ Calculamos las coordenadas: $$x_s = 2(-1) - (-2) = -2 + 2 = 0$$ $$y_s = 2(0) - 0 = 0$$ $$z_s = 2(1) - 2 = 0$$ Por tanto, el punto simétrico es el origen de coordenadas **$P_s(0, 0, 0)$**.

Ya tenemos un punto de la recta simétrica $P_s(0, 0, 0)$ y sabemos que su vector director es $\vec{v_s} = (1, 1, 1)$. La ecuación continua de la recta $s$ es: $$\frac{x - 0}{1} = \frac{y - 0}{1} = \frac{z - 0}{1}$$ Simplificando obtenemos la solución final: ✅ **Resultado:** $$\boxed{s \equiv x = y = z}$$