Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones lineales con parámetro

**a) Discutir el sistema de ecuaciones lineales según los valores del parámetro $\lambda$:** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 1 & -1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} \lambda & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema mediante el **Teorema de Rouché-Frobenius**, calculamos el determinante de la matriz $A$ usando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} \lambda & 0 & 1 \\ 1 & 1 & \lambda \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (\lambda \cdot 1 \cdot 1) + (0 \cdot \lambda \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) - [ (1 \cdot 1 \cdot 1) + (\lambda \cdot (-1) \cdot \lambda) + (0 \cdot 1 \cdot 1) ]$$ $$|A| = \lambda + 0 - 1 - [1 - \lambda^2 + 0] = \lambda - 1 - 1 + \lambda^2 = \lambda^2 + \lambda - 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el sistema será Compatible Determinado siempre que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero.

Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores que cambian el rango de $A$: $$\lambda^2 + \lambda - 2 = 0$$ Resolvemos la ecuación de segundo grado: $$\lambda = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-2)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 8}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}$$ Obtenemos dos soluciones: $$\lambda_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad \lambda_2 = \frac{-4}{2} = -2$$ Estos son los valores que debemos estudiar por separado.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Frobenius** para cada caso: **Caso 1: $\lambda \neq 1$ y $\lambda \neq -2$** En este caso $|A| \neq 0$. Por lo tanto, el rango de $A$ es igual al rango de $A^*$ e igual al número de incógnitas (3). $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = \text{nº incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, tiene solución única. **Caso 2: $\lambda = 1$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$. Como $|A|=0$, el $\text{rg}(A) < 3$. Observamos que la columna 1 y la columna 3 son iguales ($C_1 = C_3$), y también la columna 4 ($C_1 = C_3 = C_4$). Tomamos un menor de orden 2 en $A$: $\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. Al ser la columna de términos independientes igual a la primera, el $\text{rg}(A^*) = 2$ también. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < \text{nº incógnitas}$$ El sistema es **Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. **Caso 3: $\lambda = -2$** La matriz ampliada es $A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -2 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & -2 & 1 \\ 1 & -1 & 1 & 1 \end{array}\right)$. Como $|A|=0$, el $\text{rg}(A) < 3$. El menor $\begin{vmatrix} -2 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$, luego $\text{rg}(A) = 2$. Estudiamos el rango de $A^*$ con la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -2 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (-2) + 0 + (-1) - [1 + 2 + 0] = -3 - 3 = -6 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rg}(A^*) = 3$. $$\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$$ El sistema es **Incompatible (SI)**, no tiene solución. ✅ **Resultado (Discusión):** $$\boxed{\begin{cases} \lambda \neq 1, -2: \text{SCD} \\ \lambda = 1: \text{SCI} \\ \lambda = -2: \text{SI} \end{cases}}$$

**b) Resolverlo para $\lambda=1$. (0,8 puntos)** Sustituimos $\lambda=1$ en el sistema original: $$\begin{cases} x + z = 1 \\ x + y + z = 1 \\ x - y + z = 1 \end{cases}$$ Como sabemos que es un **Sistema Compatible Indeterminado** de rango 2, una de las ecuaciones es redundante. Podemos usar las dos primeras y pasar una variable como parámetro. Usamos el menor no nulo detectado antes (columnas de $x$ e $y$ de las dos primeras filas) y hacemos $z = t$: $$\begin{cases} x = 1 - t \\ x + y = 1 - t \end{cases}$$ Sustituyendo $x$ en la segunda ecuación: $$(1 - t) + y = 1 - t \implies y = 0$$ Por tanto, las soluciones dependen del parámetro real $t$: $$\begin{cases} x = 1 - t \\ y = 0 \\ z = t \end{cases} \text{ con } t \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, el número de parámetros necesarios es $n - \text{rg}(A)$, en este caso $3 - 2 = 1$ parámetro. ✅ **Resultado (Resolución):** $$\boxed{x = 1 - t, \; y = 0, \; z = t \quad \forall t \in \mathbb{R}}$$