Posición relativa, distancia entre rectas y plano perpendicular

**1) [1,25 PUNTOS] Calcule la posición relativa de $r$ y $s$.** Para estudiar la posición relativa, primero extraemos un punto y el vector director de cada recta. Para la recta $r$ (dada en paramétricas): - Punto $P_r = (1, 0, -2)$ - Vector director $\vec{v}_r = (0, 2, 3)$ Para la recta $s$ (dada en forma continua): - Punto $P_s = (1, 0, -1)$ - Vector director $\vec{v}_s = (3, 1, -2)$ 💡 **Tip:** En la forma continua $\frac{x-x_0}{u_1} = \frac{y-y_0}{u_2} = \frac{z-z_0}{u_3}$, el punto es $(x_0, y_0, z_0)$ y el vector es $(u_1, u_2, u_3)$. ¡Cuidado con los signos!

Primero comprobamos si los vectores directores son paralelos. Dos vectores son paralelos si sus coordenadas son proporcionales: $$\frac{0}{3} \neq \frac{2}{1} \neq \frac{3}{-2}$$ Como no son proporcionales, las rectas **no son paralelas ni coincidentes**. Por tanto, o se cortan en un punto o se cruzan en el espacio. Para distinguirlo, calculamos el determinante formado por los vectores directores y el vector que une un punto de cada recta $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (1-1, 0-0, -1 - (-2)) = (0, 0, 1)$$ Calculamos el determinante $D = \det(\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s})$: $$D = \begin{vmatrix} 0 & 3 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$D = 1 \cdot \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1 \cdot (0 \cdot 1 - 3 \cdot 2) = -6$$ Como $D \neq 0$, los tres vectores son linealmente independientes, lo que significa que las rectas están en planos diferentes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cruzan}}$$

**2) [1,5 PUNTOS] Calcule la distancia entre $r$ y $s$.** Dado que las rectas se cruzan, la distancia mínima entre ellas se calcula mediante la fórmula: $$d(r, s) = \frac{|[\vec{v}_r, \vec{v}_s, \vec{P_r P_s}]|}{|\vec{v}_r \times \vec{v}_s|}$$ Ya conocemos el numerador (valor absoluto del determinante anterior): $|-6| = 6$. Calculamos ahora el producto vectorial $\vec{v}_r \times \vec{v}_s$: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & -2 \end{vmatrix}$$ Resolviendo por Sarrus o desarrollo por filas: $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = \vec{i} \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -2 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 0 & 3 \\ 3 & -2 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 3 & 1 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v}_r \times \vec{v}_s = (-4 - 3)\vec{i} - (0 - 9)\vec{j} + (0 - 6)\vec{k} = (-7, 9, -6)$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial representa el área del paralelogramo formado por los vectores directores.

Calculamos el módulo del vector obtenido: $$|\vec{v}_r \times \vec{v}_s| = \sqrt{(-7)^2 + 9^2 + (-6)^2} = \sqrt{49 + 81 + 36} = \sqrt{166}$$ Aplicamos la fórmula de la distancia: $$d(r, s) = \frac{6}{\sqrt{166}}$$ Racionalizando (opcional) o expresando el valor aproximado: $$d(r, s) = \frac{6\sqrt{166}}{166} = \frac{3\sqrt{166}}{83} \approx 0.465 \text{ unidades}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, s) = \dfrac{6}{\sqrt{166}} \text{ u}}$$

**3) [0,5 PUNTOS] Calcule el plano perpendicular a $s$ que pasa por $(0, 1, 0)$.** Si un plano $\pi$ es perpendicular a una recta $s$, el vector director de la recta $\vec{v}_s$ es el vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Tenemos: - Vector normal $\vec{n}_\pi = \vec{v}_s = (3, 1, -2)$ - Punto de paso $A = (0, 1, 0)$ La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes del vector normal: $$3x + 1y - 2z + D = 0$$ Para hallar $D$, imponemos que el plano pase por el punto $A(0, 1, 0)$: $$3(0) + 1(1) - 2(0) + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Sustituyendo el valor de $D$ obtenemos la ecuación final. ✅ **Resultado:** $$\boxed{3x + y - 2z - 1 = 0}$$