Optimización del área de un cilindro

**1) [0,5 PUNTOS] Exprese la altura $h$ del cilindro en función del radio $r$ de la base.** Partimos de la fórmula del volumen del cilindro proporcionada en los datos: $V = \pi \cdot r^2 \cdot h$. Se nos indica que el volumen deseado es $250\pi$ $\text{m}^3$. Igualamos la fórmula al valor conocido: $$\pi \cdot r^2 \cdot h = 250 \cdot \pi$$ Para despejar $h$, dividimos ambos miembros por $\pi \cdot r^2$ (asumiendo que el radio $r \gt 0$): $$h = \frac{250 \cdot \pi}{\pi \cdot r^2}$$ Simplificamos la constante $\pi$ en el numerador y el denominador: $$h = \frac{250}{r^2}$$ 💡 **Tip:** En los problemas de optimización con restricciones, el primer paso suele ser despejar una variable de la ecuación de ligadura (el volumen en este caso) para reducir el número de variables de la función a optimizar. ✅ **Resultado:** $$\boxed{h = \frac{250}{r^2}}$$

**2) [0,5 PUNTOS] Calcule la función $a(r)$ que expresa el área del cilindro en función del radio de la base.** La fórmula del área total del cilindro es la suma del área de las dos bases (discos) y el área lateral (rectángulo): $$A = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot h$$ Sustituimos la expresión de $h$ que hemos obtenido en el apartado anterior ($h = 250/r^2$) en la fórmula del área para que dependa únicamente del radio $r$: $$a(r) = 2\pi \cdot r^2 + 2\pi \cdot r \cdot \left( \frac{250}{r^2} \right)$$ Operamos para simplificar el segundo término: $$a(r) = 2\pi r^2 + \frac{500\pi r}{r^2} = 2\pi r^2 + \frac{500\pi}{r}$$ 💡 **Tip:** Es útil escribir la función de forma que sea fácil de derivar después. Por ejemplo, podemos ver el segundo término como $500\pi \cdot r^{-1}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a(r) = 2\pi r^2 + \frac{500\pi}{r}}$$

**3) [2,5 PUNTOS] Calcule el valor del radio y la altura que hacen el área mínima.** Para encontrar el valor de $r$ que minimiza el área, buscamos los puntos críticos igualando la derivada de $a(r)$ a cero. Calculamos la primera derivada $a'(r)$: $$a'(r) = \frac{d}{dr} \left( 2\pi r^2 + 500\pi r^{-1} \right) = 4\pi r - 500\pi r^{-2} = 4\pi r - \frac{500\pi}{r^2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$4\pi r - \frac{500\pi}{r^2} = 0 \implies 4\pi r = \frac{500\pi}{r^2}$$ Multiplicamos por $r^2$ y despejamos $r$: $$r^3 = \frac{500\pi}{4\pi} = 125$$ Resolvemos la raíz cúbica: $$r = \sqrt[3]{125} = 5 \text{ m}$$ 💡 **Tip:** No olvides simplificar las constantes como $\pi$ antes de resolver la ecuación para facilitar los cálculos. ✅ **Radio óptimo:** $$\boxed{r = 5 \text{ m}}$$

Debemos justificar que en $r = 5$ existe efectivamente un mínimo absoluto. Utilizaremos el criterio de la segunda derivada. Calculamos $a''(r)$ a partir de $a'(r) = 4\pi r - 500\pi r^{-2}$: $$a''(r) = 4\pi + 1000\pi r^{-3} = 4\pi + \frac{1000\pi}{r^3}$$ Evaluamos en $r = 5$: $$a''(5) = 4\pi + \frac{1000\pi}{5^3} = 4\pi + \frac{1000\pi}{125} = 4\pi + 8\pi = 12\pi \gt 0$$ Como $a''(5) \gt 0$, confirmamos que hay un **mínimo relativo** en $r = 5$. Al ser el único punto crítico en el dominio $(0, +\infty)$, es el mínimo absoluto. Finalmente, calculamos la altura $h$ para dicho radio: $$h = \frac{250}{r^2} = \frac{250}{5^2} = \frac{250}{25} = 10 \text{ m}$$ ✅ **Dimensiones finales:** $$\boxed{r = 5 \text{ m}, \quad h = 10 \text{ m}}$$