Discusión y resolución de un sistema de ecuaciones con parámetros

**1) [2 PUNTOS] Clasifique el tipo de sistema según el parámetro $b$.** Para clasificar el sistema, escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} 2 & b & 0 \\ -1 & 0 & b \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{pmatrix} \quad A^* = \begin{pmatrix} 2 & b & 0 & 0 \\ -1 & 0 & b & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Se trata de un sistema de 4 ecuaciones con 3 incógnitas. El rango máximo de $A$ es 3 y el rango máximo de $A^*$ es 4. 💡 **Tip:** Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**: - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = n$ (nº incógnitas), el sistema es Compatible Determinado (SCD). - Si $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) \lt n$, el sistema es Compatible Indeterminado (SCI). - Si $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es Incompatible (SI).

Como $A^*$ es una matriz cuadrada de orden 4, empezamos calculando su determinante para ver cuándo el rango de $A^*$ es máximo (igual a 4). $$|A^*| = \begin{vmatrix} 2 & b & 0 & 0 \\ -1 & 0 & b & 1 \\ -1 & 0 & 2 & 1 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por la segunda columna, que contiene varios ceros: $$|A^*| = -b \begin{vmatrix} -1 & b & 1 \\ -1 & 2 & 1 \\ -1 & 0 & 0 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 2 & 0 & 0 \\ -1 & b & 1 \\ -1 & 2 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos los determinantes de orden 3: - Para el primero, desarrollamos por la tercera fila: $(-1) \cdot (b - 2) = 2 - b$. - Para el segundo, desarrollamos por la primera fila: $2 \cdot (b - 2) = 2b - 4$. Sustituimos: $$|A^*| = -b(2 - b) + (2b - 4) = -2b + b^2 + 2b - 4 = b^2 - 4$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$b^2 - 4 = 0 \implies b = 2, \quad b = -2$$

Analizamos los casos según el valor de $b$: **Caso 1: $b \neq 2$ y $b \neq -2$** En este caso $|A^*| \neq 0$, por lo que **$\text{rg}(A^*) = 4$**. Como la matriz $A$ tiene solo 3 columnas, su rango máximo es 3. Al ser $\text{rg}(A) \neq \text{rg}(A^*)$, el sistema es **Incompatible (SI)**. **Caso 2: $b = 2$** Si $b = 2$, $|A^*| = 0$, por lo que $\text{rg}(A^*) \le 3$. Comprobamos el rango de $A$ buscando un menor de orden 3 no nulo: $$\begin{vmatrix} 2 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 - 4 + 0) - (0 + 4 + 0) = -8 \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rg}(A) = 3$**. Como $\text{rg}(A) \le \text{rg}(A^*) \le 3$, entonces **$\text{rg}(A^*) = 3$**. Como $\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. **Caso 3: $b = -2$** Si $b = -2$, $|A^*| = 0$. Comprobamos el rango de $A$: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & -2 \\ -1 & 0 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = (0 + 2 + 0) - (0 - 2 + 0) = 4 \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rg}(A) = 3$** y, por el mismo razonamiento anterior, **$\text{rg}(A^*) = 3$**. El sistema es **Compatible Determinado (SCD)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} b \neq \pm 2: \text{Sistema Incompatible} \\ b = 2: \text{Sistema Compatible Determinado} \\ b = -2: \text{Sistema Compatible Determinado} \end{cases}}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Calcule todas las soluciones del sistema en el caso $b = -2$.** Sustituimos $b = -2$ en el sistema: $$\begin{cases} 2x - 2y = 0 \quad (E1) \\ -x - 2z = 1 \quad (E2) \\ -x + 2z = 1 \quad (E3) \\ -x + y = 0 \quad (E4) \end{cases}$$ De $(E4)$ obtenemos directamente: $x = y$. Notamos que $(E1)$ es equivalente a $(E4)$ ($2x - 2y = 0 \implies x - y = 0$). Trabajamos con $(E2)$ y $(E3)$ para hallar $x$ y $z$: Sumamos $(E2) + (E3)$: $$(-x - 2z) + (-x + 2z) = 1 + 1 \implies -2x = 2 \implies \mathbf{x = -1}$$ Como $x = y$, entonces $\mathbf{y = -1}$. Sustituimos $x = -1$ en $(E3)$: $$-(-1) + 2z = 1 \implies 1 + 2z = 1 \implies 2z = 0 \implies \mathbf{z = 0}$$ Verificamos en todas las ecuaciones: - $2(-1) - 2(-1) = 0$ (Correcto) - $-(-1) - 2(0) = 1$ (Correcto) - $-(-1) + 2(0) = 1$ (Correcto) - $-(-1) + (-1) = 0$ (Correcto) ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = -1, \quad y = -1, \quad z = 0}$$