Rectas y planos: paralelismo, distancias y vectores directores

**1) [1 PUNTO] Demuestre que $r$ y $\Pi$ son paralelos.** Para estudiar la posición relativa entre una recta $r$ y un plano $\Pi$, primero necesitamos el vector director de la recta $\vec{v}_r$. Al estar definida como intersección de dos planos, su vector director es el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos. Los vectores normales son $\vec{n}_1 = (1, -1, 1)$ y $\vec{n}_2 = (2, 0, -1)$. Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & -1 & 1 \\ 2 & 0 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(-1 \cdot (-1) - 0 \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) + \mathbf{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot (-1))$$ $$\vec{v}_r = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(-3) + \mathbf{k}(2) = (1, 3, 2)$$ $$\boxed{\vec{v}_r = (1, 3, 2)}$$

Para que la recta $r$ sea paralela al plano $\Pi$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n}_\Pi$. El plano es $\Pi : 3x - y - 2 = 0$, por lo que su vector normal es $\vec{n}_\Pi = (3, -1, 0)$. Calculamos el producto escalar: $$\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\Pi = (1, 3, 2) \cdot (3, -1, 0) = 1(3) + 3(-1) + 2(0) = 3 - 3 + 0 = 0$$ Como el producto escalar es **0**, los vectores son perpendiculares, lo que implica que la recta es **paralela al plano o está contenida en él**. 💡 **Tip:** Si $\vec{v}_r \cdot \vec{n}_\Pi = 0$, la recta no corta al plano en un solo punto (no son secantes).

Para confirmar que son paralelos (y no que la recta está contenida), comprobamos si un punto $P_r$ de la recta pertenece al plano $\Pi$. Buscamos un punto $P_r$ de la recta $r$ dando un valor a una variable. Si $x = 0$: En $2x - z = 0 \implies 2(0) - z = 0 \implies z = 0$. En $x - y + z = 1 \implies 0 - y + 0 = 1 \implies y = -1$. El punto es $P_r(0, -1, 0)$. Sustituimos $P_r$ en la ecuación del plano $\Pi : 3x - y - 2 = 0$: $$3(0) - (-1) - 2 = 1 - 2 = -1 \neq 0$$ Como el punto no cumple la ecuación del plano, la recta **no está contenida**. ✅ **Conclusión:** $$\boxed{r \parallel \Pi \text{ pues } \vec{v}_r \cdot \vec{n}_\Pi = 0 \text{ y } P_r \notin \Pi}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule una recta paralela a $r$ contenida en $\Pi$.** Una recta $t$ será paralela a $r$ si tiene su mismo vector director $\vec{v}_t = \vec{v}_r = (1, 3, 2)$. Para que además esté contenida en $\Pi$, debemos elegir un punto $Q$ que pertenezca al plano. Buscamos un punto $Q \in \Pi : 3x - y = 2$. Si hacemos $x = 1$: $$3(1) - y = 2 \implies 3 - 2 = y \implies y = 1.$$ Podemos tomar $z = 0$ ya que la variable $z$ no aparece en la ecuación del plano. Así, $Q(1, 1, 0) \in \Pi$. La recta $t$ en forma continua es: $$t : \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{3} = \frac{z - 0}{2}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{t : x - 1 = \frac{y - 1}{3} = \frac{z}{2}}$$

**3) [1 PUNTO] Calcule la distancia de $r$ a $\Pi$.** Al ser $r$ y $\Pi$ paralelos, la distancia de la recta al plano es igual a la distancia de cualquier punto de la recta al plano: $d(r, \Pi) = d(P_r, \Pi)$. Usamos el punto $P_r(0, -1, 0)$ y la ecuación general del plano $\Pi : 3x - y - 2 = 0$: $$d(P_r, \Pi) = \frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$$ $$d(r, \Pi) = \frac{|3(0) + (-1)(-1) + 0(0) - 2|}{\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 0^2}} = \frac{|1 - 2|}{\sqrt{9 + 1}} = \frac{|-1|}{\sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{10}}$$ Racionalizando el resultado: $$\frac{1}{\sqrt{10}} = \frac{\sqrt{10}}{10} \approx 0.316 \text{ u.}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{d(r, \Pi) = \frac{\sqrt{10}}{10} \text{ unidades}}$$

**4) [0,25 PUNTOS] ¿Cuál es el vector director de la recta $s : \frac{x - 2}{3} = \frac{y}{2} = \frac{z + 4}{2}$?** La recta está expresada en su **forma continua**: $$\frac{x - x_0}{v_x} = \frac{y - y_0}{v_y} = \frac{z - z_0}{v_z}$$ Donde los denominadores corresponden directamente a las componentes del vector director $\vec{v}_s = (v_x, v_y, v_z)$. Observando la ecuación de $s$: - Denominador de $x$: $3$ - Denominador de $y$: $2$ - Denominador de $z$: $2$ 💡 **Tip:** Asegúrate siempre de que los coeficientes de $x, y, z$ en el numerador sean $+1$. En este caso se cumple. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v}_s = (3, 2, 2)}$$