Cálculo de primitivas y área de una función racional

**1) [2,5 PUNTOS] Calcule todas las primitivas de $f(x)$.** Para calcular las primitivas de $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 7x + 10}$, observamos que se trata de una **integral racional** donde el grado del numerador es menor que el del denominador. El primer paso es factorizar el denominador: $$x^2 - 7x + 10 = 0$$ Utilizamos la fórmula general: $$x = \frac{7 \pm \sqrt{(-7)^2 - 4(1)(10)}}{2(1)} = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 40}}{2} = \frac{7 \pm 3}{2}$$ Esto nos da dos raíces reales distintas: $$x_1 = \frac{10}{2} = 5, \quad x_2 = \frac{4}{2} = 2$$ Por lo tanto, el denominador se factoriza como: $$x^2 - 7x + 10 = (x - 5)(x - 2)$$ 💡 **Tip:** Cuando el denominador tiene raíces reales simples, podemos descomponer la fracción en una suma de fracciones simples del tipo $\frac{A}{x-a} + \frac{B}{x-b}$.

Planteamos la descomposición de la función en fracciones simples: $$\frac{x - 1}{(x - 5)(x - 2)} = \frac{A}{x - 5} + \frac{B}{x - 2}$$ Para hallar los valores de $A$ y $B$, igualamos los numeradores tras obtener el común denominador: $$x - 1 = A(x - 2) + B(x - 5)$$ Calculamos los coeficientes sustituyendo $x$ por las raíces halladas: - Si **$x = 2$**: $$2 - 1 = B(2 - 5) \implies 1 = -3B \implies B = -\frac{1}{3}$$ - Si **$x = 5$**: $$5 - 1 = A(5 - 2) \implies 4 = 3A \implies A = \frac{4}{3}$$ Así, la función se expresa como: $$f(x) = \frac{4/3}{x - 5} - \frac{1/3}{x - 2}$$ $$\boxed{f(x) = \frac{4}{3(x-5)} - \frac{1}{3(x-2)}} $$

Ahora calculamos la integral indefinida para obtener todas las primitivas $F(x) = \int f(x) \, dx$: $$F(x) = \int \left( \frac{4/3}{x - 5} - \frac{1/3}{x - 2} \right) dx = \frac{4}{3} \int \frac{1}{x - 5} dx - \frac{1}{3} \int \frac{1}{x - 2} dx$$ Ambas integrales son inmediatas de tipo logarítmico: $$F(x) = \frac{4}{3} \ln|x - 5| - \frac{1}{3} \ln|x - 2| + C$$ 💡 **Tip:** No olvides incluir la constante de integración $C$ para representar el conjunto de todas las primitivas. ✅ **Resultado (Primitivas):** $$\boxed{F(x) = \frac{4}{3} \ln|x - 5| - \frac{1}{3} \ln|x - 2| + C}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule el área encerrada por la gráfica de $f(x)$ y las rectas $y = 0, x = 3$ y $x = 4$.** El área viene dada por la integral definida de la función entre los límites $x=3$ y $x=4$: $$\text{Área} = \int_{3}^{4} |f(x)| \, dx$$ Primero comprobamos si la función cambia de signo en el intervalo $[3, 4]$. Los puntos de corte con el eje $OX$ ($y=0$) ocurren cuando el numerador es cero: $x - 1 = 0 \implies x = 1$. Como $x=1$ no está en el intervalo $[3, 4]$, la función mantiene un signo constante. Evaluamos el signo en un punto intermedio, por ejemplo $x = 3.5$: $$f(3.5) = \frac{3.5 - 1}{(3.5 - 5)(3.5 - 2)} = \frac{2.5}{(-1.5)(1.5)} = \frac{2.5}{-2.25} < 0$$ Como la función es negativa en el intervalo, el área será el valor absoluto de la integral (o la integral de $-f(x)$). 💡 **Tip:** El área siempre es una cantidad positiva. Si la función está por debajo del eje $X$, la integral saldrá negativa, por lo que tomaremos su valor absoluto.

Calculamos la integral definida utilizando una de las primitivas halladas anteriormente (con $C=0$): $$\int_{3}^{4} f(x) \, dx = \left[ \frac{4}{3} \ln|x - 5| - \frac{1}{3} \ln|x - 2| \right]_{3}^{4}$$ Sustituimos los límites de integración: - Para **$x = 4$**: $$F(4) = \frac{4}{3} \ln|4 - 5| - \frac{1}{3} \ln|4 - 2| = \frac{4}{3} \ln(1) - \frac{1}{3} \ln(2) = 0 - \frac{1}{3} \ln(2) = -\frac{1}{3} \ln(2)$$ - Para **$x = 3$**: $$F(3) = \frac{4}{3} \ln|3 - 5| - \frac{1}{3} \ln|3 - 2| = \frac{4}{3} \ln(2) - \frac{1}{3} \ln(1) = \frac{4}{3} \ln(2) - 0 = \frac{4}{3} \ln(2)$$ Restamos los valores: $$\int_{3}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(3) = -\frac{1}{3} \ln(2) - \frac{4}{3} \ln(2) = -\frac{5}{3} \ln(2)$$ El área es el valor absoluto: $$\text{Área} = |-\frac{5}{3} \ln(2)| = \frac{5}{3} \ln(2) \approx 1.155 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = \frac{5}{3} \ln(2) \text{ unidades}^2}$$