Ecuaciones matriciales y rango con parámetros

**1) [2 PUNTOS] Escriba un sistema de ecuaciones en las incógnitas $x, y, z$ que resuelvan el problema matricial $AB = C$ y calcule todas sus soluciones.** Primero, realizamos el producto matricial $AB$. Para multiplicar matrices, multiplicamos cada fila de la primera por la columna de la segunda: $$AB = \begin{pmatrix} z & 2 & x \\ 1 & -y & -z \\ x + z & -y & z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} z(2) + 2(-1) + x(1) \\ 1(2) + (-y)(-1) + (-z)(1) \\ (x + z)(2) + (-y)(-1) + z(1) \end{pmatrix}$$ Operamos cada componente: - Primera fila: $2z - 2 + x$ - Segunda fila: $2 + y - z$ - Tercera fila: $2x + 2z + y + z = 2x + y + 3z$ Igualamos el resultado a la matriz $C = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \\ 1 \end{pmatrix}$: $$\begin{cases} x + 2z - 2 = -2 \\ y - z + 2 = 3 \\ 2x + y + 3z = 1 \end{cases} \implies \begin{cases} x + 2z = 0 \\ y - z = 1 \\ 2x + y + 3z = 1 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que el producto $A \cdot B$ sea posible, el número de columnas de $A$ debe coincidir con el número de filas de $B$.

Analizamos el sistema mediante su matriz ampliada $M^*$: $$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 & 1 \\ 2 & 1 & 3 & 1 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes $M$: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & -1 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix} = (3 + 0 + 0) - (4 - 1 + 0) = 3 - 3 = 0$$ Como $|M|=0$, el rango de $M$ es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 no nulo: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1 \neq 0 \implies \text{rang}(M) = 2$$ Comprobamos el rango de la ampliada $M^*$ usando el menor de la tercera fila y columna: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 + 0 + 0) - (0 + 1 + 0) = 0$$ Al ser todos los menores de orden 3 nulos, $\text{rang}(M^*) = 2$. Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, como $\text{rang}(M) = \text{rang}(M^*) = 2 < 3$ (nº incógnitas), el sistema es **Compatible Indeterminado** (infinitas soluciones). Resolvemos usando $z = \lambda$ como parámetro: 1. De la primera ecuación: $x = -2z \implies x = -2\lambda$ 2. De la segunda ecuación: $y = 1 + z \implies y = 1 + \lambda$ ✅ **Resultado (soluciones):** $$\boxed{x = -2\lambda, \quad y = 1 + \lambda, \quad z = \lambda \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**2) [1,25 PUNTOS] Si $x = 0, y = 0$, calcule para qué valores de $z$ la matriz $A$ tiene rango 2.** Sustituimos los valores $x=0$ e $y=0$ en la matriz $A$: $$A = \begin{pmatrix} z & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -z \\ z & 0 & z \end{pmatrix}$$ Para que el rango de $A$ sea 2, el determinante de $A$ debe ser igual a 0. Calculamos $|A|$ desarrollando por la segunda columna (que contiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} z & 2 & 0 \\ 1 & 0 & -z \\ z & 0 & z \end{vmatrix} = -2 \cdot \begin{vmatrix} 1 & -z \\ z & z \end{vmatrix}$$ $$|A| = -2(1 \cdot z - (-z) \cdot z) = -2(z + z^2) = -2z(1 + z)$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2z(1 + z) = 0 \implies z = 0 \quad \text{o} \quad z = -1$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz es el orden del mayor menor no nulo. Si el determinante de una matriz $3 \times 3$ es 0, el rango será 2, 1 o 0.

Analizamos la matriz para los valores donde el determinante es nulo: **Caso $z = 0$:** $$A = \begin{pmatrix} 0 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Existe el menor de orden 2: $\begin{vmatrix} 0 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$. Por tanto, $\text{rang}(A) = 2$. **Caso $z = -1$:** $$A = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Existe el menor de orden 2: $\begin{vmatrix} -1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -2 \neq 0$. Por tanto, $\text{rang}(A) = 2$. (Nótese que en este caso la fila 3 es igual a la fila 2 multiplicada por -1, confirmando que el rango no puede ser 3). ✅ **Resultado:** $$\boxed{z = 0 \quad \text{y} \quad z = -1}$$