Posiciones relativas y ecuaciones de planos en el espacio

**1) [1,75 PUNTOS] Calcule el plano perpendicular a $r$ que pasa por el punto $A$.** Para resolver ambos apartados, primero necesitamos obtener un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v}_r$ de la recta $r$ dada en su forma implícita: $$r : \begin{cases} x = 2 \\ y = z + 2 \end{cases}$$ Si parametrizamos haciendo $z = \lambda$, obtenemos las ecuaciones paramétricas: $$r : \begin{cases} x = 2 \\ y = 2 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ De aquí extraemos: - Un punto de la recta: $P_r = (2, 2, 0)$ - El vector director de la recta: $\vec{v}_r = (0, 1, 1)$ 💡 **Tip:** Para pasar de implícitas a paramétricas, basta con asignar un parámetro a una de las variables (en este caso $z$) y despejar las demás.

Un plano $\pi_1$ perpendicular a una recta $r$ tiene como vector normal $\vec{n}_1$ el propio vector director de la recta: $$\vec{n}_1 = \vec{v}_r = (0, 1, 1)$$ La ecuación general de un plano con vector normal $(A, B, C)$ es $Ax + By + Cz + D = 0$. En este caso: $$0x + 1y + 1z + D = 0 \implies y + z + D = 0$$ Como el plano debe pasar por el punto $A(4, 0, 1)$, sustituimos sus coordenadas en la ecuación para hallar $D$: $$0 + 1 + D = 0 \implies D = -1$$ Sustituyendo el valor de $D$, obtenemos la ecuación del plano perpendicular: $$\boxed{y + z - 1 = 0}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una recta es perpendicular a un plano, el vector director de la recta y el vector normal del plano son paralelos (pueden ser el mismo).

**2) [1,5 PUNTOS] Calcule la ecuación general (implícita) del plano que contiene a $r$ y a $A$.** Para que el plano $\pi_2$ contenga a la recta $r$ y al punto $A$, debe contener: 1. El punto $A(4, 0, 1)$. 2. El vector director de la recta $\vec{v}_r = (0, 1, 1)$. 3. Un vector que una el punto $A$ con cualquier punto de la recta, por ejemplo $P_r(2, 2, 0)$. Calculamos el vector $\vec{AP_r}$: $$\vec{AP_r} = P_r - A = (2 - 4, 2 - 0, 0 - 1) = (-2, 2, -1)$$ Ahora, el vector normal $\vec{n}_2$ del plano será el producto vectorial de $\vec{v}_r$ y $\vec{AP_r}$: $$\vec{n}_2 = \vec{v}_r \times \vec{AP_r} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 1 & 1 \\ -2 & 2 & -1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{n}_2 = [1 \cdot (-1)]\mathbf{i} + [1 \cdot (-2)]\mathbf{j} + [0 \cdot 2]\mathbf{k} - [(-2) \cdot 1]\mathbf{k} - [2 \cdot 1]\mathbf{i} - [(-1) \cdot 0]\mathbf{j}$$ $$\vec{n}_2 = -1\mathbf{i} - 2\mathbf{j} + 0\mathbf{k} + 2\mathbf{k} - 2\mathbf{i} + 0\mathbf{j} = (-3, -2, 2)$$ La ecuación del plano es: $$-3(x - 4) - 2(y - 0) + 2(z - 1) = 0$$ $$-3x + 12 - 2y + 2z - 2 = 0 \implies -3x - 2y + 2z + 10 = 0$$ Multiplicando por $-1$ para simplificar: $$\boxed{3x + 2y - 2z - 10 = 0}$$ 💡 **Tip:** Si el plano contiene a una recta, su vector normal debe ser perpendicular al vector director de dicha recta. El producto vectorial es la herramienta ideal para hallar un vector perpendicular a otros dos.