Continuidad de una función a trozos y cálculo de áreas

**1) [1 PUNTO] Determine $a$ y $b$ para que la función $f$ sea continua en todo $\mathbb{R}$.** Las tres ramas de la función son continuas en sus respectivos intervalos abiertos (la primera y segunda son polinómicas y la tercera es trigonométrica). Para que $f(x)$ sea continua en todo $\mathbb{R}$, debe serlo en los puntos de salto entre ramas: $x = -2$ y $x = 0$. Estudiamos primero el punto **$x = -2$**. Para que sea continua se debe cumplir: $$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^+} f(x) = f(-2)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to -2^-} (x + 2) = -2 + 2 = 0$ - Límite por la derecha: $\lim_{x \to -2^+} (x^2 + ax) = (-2)^2 + a(-2) = 4 - 2a$ - Valor de la función: $f(-2) = -2 + 2 = 0$ Igualamos para obtener la continuidad: $$0 = 4 - 2a \implies 2a = 4 \implies a = 2$$ 💡 **Tip:** Una función es continua en un punto si existen sus límites laterales, son iguales entre sí y coinciden con el valor de la función en dicho punto.

Ahora estudiamos el punto **$x = 0$**. Para que sea continua se debe cumplir: $$\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)$$ Calculamos los límites laterales: - Límite por la izquierda: $\lim_{x \to 0^-} (x^2 + ax) = 0^2 + a(0) = 0$ - Límite por la derecha: $\lim_{x \to 0^+} (2 \text{ sen}(x) + b) = 2 \text{ sen}(0) + b = 2(0) + b = b$ - Valor de la función: $f(0) = b$ Igualamos los límites: $$0 = b$$ Concluimos que los valores de los parámetros para la continuidad global son: ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = 2, b = 0}$$

**2) [1,5 PUNTOS] Si $a = 3, b = 0$ clasifique la discontinuidad en $x = -2$.** Sustituimos el valor dado $a = 3$ y evaluamos el comportamiento en el punto de salto $x = -2$: - Límite por la izquierda: $$\lim_{x \to -2^-} f(x) = \lim_{x \to -2^-} (x + 2) = -2 + 2 = 0$$ - Límite por la derecha: $$\lim_{x \to -2^+} f(x) = \lim_{x \to -2^+} (x^2 + 3x) = (-2)^2 + 3(-2) = 4 - 6 = -2$$ Como los límites laterales existen y son finitos, pero **distintos**: $$\lim_{x \to -2^-} f(x) \neq \lim_{x \to -2^+} f(x)$$ Se produce un salto en la función. La longitud del salto es $|0 - (-2)| = 2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Discontinuidad inevitable de salto finito en } x = -2}$$ 💡 **Tip:** Si los límites laterales son finitos y distintos, la discontinuidad es de salto finito. Si alguno es infinito, es de salto infinito. Si coinciden pero no con $f(a)$, es evitable.

**3) [1 PUNTO] Si $a = 2, b = 0$, calcule el área encerrada por la gráfica de $f$ entre las rectas $y = 0, x = -5$ y $x = -3$.** El intervalo de integración es $[-5, -3]$. Observamos que este intervalo pertenece íntegramente a la primera rama de la función, ya que $x \le -2$. La función en este intervalo es $f(x) = x + 2$. Primero comprobamos si la función corta al eje $X$ ($y=0$) en el intervalo $(-5, -3)$: $$x + 2 = 0 \implies x = -2$$ Como $x = -2$ no pertenece al interior del intervalo $(-5, -3)$, la función no cambia de signo en la región de estudio. El área viene dada por: $$A = \left| \int_{-5}^{-3} (x + 2) \, dx \right|$$ 💡 **Tip:** Siempre comprueba si la función corta al eje $X$ dentro del intervalo de integración. Si lo corta, debes dividir la integral en varios recintos.

Calculamos la integral definida aplicando la regla de Barrow: $$\int_{-5}^{-3} (x + 2) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + 2x \right]_{-5}^{-3}$$ Evaluamos en los límites: - En $x = -3$: $\frac{(-3)^2}{2} + 2(-3) = \frac{9}{2} - 6 = 4.5 - 6 = -1.5$ - En $x = -5$: $\frac{(-5)^2}{2} + 2(-5) = \frac{25}{2} - 10 = 12.5 - 10 = 2.5$ Restamos los valores: $$-1.5 - 2.5 = -4$$ Como buscamos un área, tomamos el valor absoluto: $$A = |-4| = 4 \text{ u}^2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Área } = 4 \text{ unidades cuadradas}}$$