Matrices: Igualdad, Potencias y Ecuaciones Matriciales

**1) [1,25 PUNTOS] Determine los valores de $x$ e $y$ para los cuales $AB = BA$.** Para que dos matrices sean iguales, sus productos en ambos sentidos deben coincidir. Calculamos primero el producto $A \cdot B$: $$AB = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ x & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ y & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3(1) + 1(y) & 3(1) + 1(1) \\ x(1) + 3(y) & x(1) + 3(1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+y & 4 \\ x+3y & x+3 \end{pmatrix}$$ Ahora calculamos el producto $B \cdot A$: $$BA = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ y & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ x & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1(3) + 1(x) & 1(1) + 1(3) \\ y(3) + 1(x) & y(1) + 1(3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+x & 4 \\ 3y+x & y+3 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el producto de matrices se realiza multiplicando filas de la primera por columnas de la segunda, y que en general el producto de matrices **no es conmutativo** ($AB \neq BA$).

Igualamos término a término los resultados obtenidos: $$\begin{pmatrix} 3+y & 4 \\ x+3y & x+3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3+x & 4 \\ 3y+x & y+3 \end{pmatrix}$$ Esto genera el siguiente sistema de ecuaciones: 1. $3 + y = 3 + x \implies y = x$ 2. $4 = 4$ (siempre se cumple) 3. $x + 3y = 3y + x \implies 0 = 0$ (siempre se cumple) 4. $x + 3 = y + 3 \implies x = y$ Todas las ecuaciones nos llevan a la misma conclusión: para que se cumpla la igualdad, los valores de $x$ e $y$ deben ser iguales. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = y \quad \text{con } x, y \in \mathbb{R}}$$

**2) [1,5 PUNTOS] Determine un valor $x$ para el que $A^2 = 6A$ ¿Tiene $A$ inversa en este caso?** Primero calculamos $A^2$: $$A^2 = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ x & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ x & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9 + x & 3 + 3 \\ 3x + 3x & x + 9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9+x & 6 \\ 6x & x+9 \end{pmatrix}$$ Calculamos ahora la matriz $6A$: $$6A = 6 \cdot \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ x & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 6 \\ 6x & 18 \end{pmatrix}$$ Igualamos ambas matrices: $$\begin{pmatrix} 9+x & 6 \\ 6x & x+9 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 18 & 6 \\ 6x & 18 \end{pmatrix}$$ De la primera posición (fila 1, columna 1): $9 + x = 18 \implies \mathbf{x = 9}$. De la última posición (fila 2, columna 2): $x + 9 = 18 \implies \mathbf{x = 9}$. Las demás posiciones ya cumplen la igualdad para cualquier $x$ o coinciden. ✅ **Resultado (valor de x):** $$\boxed{x = 9}$$

Para comprobar si $A$ tiene inversa cuando $x = 9$, calculamos su determinante $|A|$: Si $x = 9$, la matriz es $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{pmatrix}$. $$|A| = \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 9 & 3 \end{vmatrix} = (3 \cdot 3) - (9 \cdot 1) = 9 - 9 = 0$$ 💡 **Tip:** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|A| \neq 0$). Como $|A| = 0$, la matriz $A$ es singular o degenerada. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No, } A \text{ no tiene inversa en este caso.}}$$

**3) [0,5 PUNTOS] Sean $N, R, S, X$ matrices $2\times2$ que tienen todas matriz inversa. Despeje la matriz $X$ de la expresión $N \cdot X \cdot R = S$.** Para despejar $X$, debemos eliminar las matrices $N$ y $R$ multiplicando por sus inversas. Dado que el producto de matrices no es conmutativo, debemos respetar el lado por el que multiplicamos: 1. Multiplicamos por $N^{-1}$ por la **izquierda** en ambos miembros: $$N^{-1} \cdot (N \cdot X \cdot R) = N^{-1} \cdot S$$ $$(N^{-1} \cdot N) \cdot X \cdot R = N^{-1} \cdot S$$ $$I \cdot X \cdot R = N^{-1} \cdot S \implies X \cdot R = N^{-1} \cdot S$$ 2. Multiplicamos por $R^{-1}$ por la **derecha** en ambos miembros: $$(X \cdot R) \cdot R^{-1} = (N^{-1} \cdot S) \cdot R^{-1}$$ $$X \cdot (R \cdot R^{-1}) = N^{-1} \cdot S \cdot R^{-1}$$ $$X \cdot I = N^{-1} \cdot S \cdot R^{-1}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $A \cdot A^{-1} = A^{-1} \cdot A = I$ (matriz identidad) y que $A \cdot I = I \cdot A = A$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = N^{-1} \cdot S \cdot R^{-1}}$$