Geometría en el espacio: Intersección y ángulo entre planos

**1) [1 PUNTO] Calcule la ecuación implícita (general) del plano $A$.** El plano $A$ viene dado en su forma vectorial, de donde podemos extraer un punto $P_A$ y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$: - Punto: $P_A(0, 1, 0)$ - Vectores directores: $\vec{u} = (1, -1, 2)$ y $\vec{v} = (0, 0, 1)$ La ecuación implícita se obtiene mediante el determinante formado por un punto genérico $X(x, y, z)$ y los elementos anteriores: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 1 & z - 0 \\ 1 & -1 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por ejemplo, por la tercera fila que tiene más ceros o por Sarrus): $$(x - 0) \cdot (-1) \cdot 1 + (y - 1) \cdot 2 \cdot 0 + z \cdot 1 \cdot 0 - [0 \cdot (-1) \cdot z + 0 \cdot 2 \cdot (x-0) + 1 \cdot 1 \cdot (y-1)] = 0$$ $$-x - (y - 1) = 0 \implies -x - y + 1 = 0$$ Multiplicamos por $-1$ para obtener una expresión más usual: $$x + y - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación implícita de un plano que pasa por $P(x_0, y_0, z_0)$ con vectores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ es $\det(\vec{PX}, \vec{u}, \vec{v}) = 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{A: x + y - 1 = 0}$$

**2) [1 PUNTO] Calcule un punto y el vector director de la recta intersección de $A$ y $B$.** La recta intersección $r$ viene definida por el sistema formado por las ecuaciones implícitas de ambos planos: $$r: \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ x + 2y + 2z - 1 = 0 \end{cases}$$ El vector director de la recta $\vec{d_r}$ se puede calcular como el producto vectorial de los vectores normales a los planos, $\vec{n_A} = (1, 1, 0)$ y $\vec{n_B} = (1, 2, 2)$: $$\vec{d_r} = \vec{n_A} \times \vec{n_B} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$\vec{d_r} = (1 \cdot 2)\vec{i} + (0 \cdot 1)\vec{j} + (1 \cdot 2)\vec{k} - [(1 \cdot 1)\vec{k} + (2 \cdot 0)\vec{i} + (2 \cdot 1)\vec{j}]$$ $$\vec{d_r} = 2\vec{i} + 0\vec{j} + 2\vec{k} - \vec{k} - 2\vec{j} = 2\vec{i} - 2\vec{j} + \vec{k}$$ $$\vec{d_r} = (2, -2, 1)$$ 💡 **Tip:** El vector director de una recta definida como intersección de dos planos es siempre perpendicular a ambos vectores normales.

Para hallar un punto $P_r$ de la recta, damos un valor arbitrario a una de las variables en el sistema. Por ejemplo, si hacemos $y = 0$: 1. De la primera ecuación: $x + 0 - 1 = 0 \implies x = 1$. 2. Sustituimos en la segunda ecuación: $1 + 2(0) + 2z - 1 = 0 \implies 2z = 0 \implies z = 0$. Por tanto, un punto de la recta es $P_r(1, 0, 0)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P_r(1, 0, 0), \quad \vec{d_r} = (2, -2, 1)}$$

**3) [1,25 PUNTOS] Calcule el ángulo formado por los dos planos $A$ y $B$.** El ángulo $\alpha$ formado por dos planos es el ángulo agudo que forman sus vectores normales $\vec{n_A} = (1, 1, 0)$ y $\vec{n_B} = (1, 2, 2)$. Utilizamos la fórmula del producto escalar: $$\cos \alpha = \frac{|\vec{n_A} \cdot \vec{n_B}|}{|\vec{n_A}| \cdot |\vec{n_B}|}$$ Calculamos el producto escalar: $$\vec{n_A} \cdot \vec{n_B} = (1)(1) + (1)(2) + (0)(2) = 1 + 2 + 0 = 3$$ Calculamos los módulos: $$|\vec{n_A}| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 0^2} = \sqrt{2}$$ $$|\vec{n_B}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$$ Sustituimos en la fórmula: $$\cos \alpha = \frac{|3|}{\sqrt{2} \cdot 3} = \frac{3}{3\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$$ Buscamos el ángulo cuyo coseno es $\frac{\sqrt{2}}{2}$: $$\alpha = \arccos\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 45^\circ$$ 💡 **Tip:** Recuerda que el ángulo entre dos planos se define como el ángulo agudo, por eso usamos el valor absoluto en el numerador. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\alpha = 45^\circ \text{ (o } \pi/4 \text{ rad)}}$$