Límites y Asíntotas con Parámetros

**1) [2,5 PUNTOS] Calcule $\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(2x^2) + x}{\ln(x + 1) + x}$. ($\ln$ denota el logaritmo neperiano).** En primer lugar, evaluamos el límite sustituyendo $x = 0$ en la expresión para comprobar si existe una indeterminación: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(2x^2) + x}{\ln(x + 1) + x} = \frac{\text{sen}(0) + 0}{\ln(1) + 0} = \frac{0 + 0}{0 + 0} = \frac{0}{0}$$ Obtenemos una indeterminación del tipo $\frac{0}{0}$. 💡 **Tip:** Cuando nos encontramos con una indeterminación de tipo $\frac{0}{0}$ o $\frac{\infty}{\infty}$ en funciones derivables, la herramienta más directa para resolverlo es la **Regla de L'Hôpital**.

Aplicamos la Regla de L'Hôpital, derivando el numerador y el denominador de forma independiente: - Derivada del numerador: $(\text{sen}(2x^2) + x)' = \cos(2x^2) \cdot (4x) + 1 = 4x \cos(2x^2) + 1$ - Derivada del denominador: $(\ln(x + 1) + x)' = \frac{1}{x + 1} + 1$ Calculamos ahora el límite del cociente de las derivadas: $$\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(2x^2) + x}{\ln(x + 1) + x} = \lim_{x \to 0} \frac{4x \cos(2x^2) + 1}{\frac{1}{x + 1} + 1}$$ Sustituimos $x = 0$ en la nueva expresión: $$\lim_{x \to 0} \frac{4(0) \cos(0) + 1}{\frac{1}{0 + 1} + 1} = \frac{0 \cdot 1 + 1}{1 + 1} = \frac{1}{2}$$ ✅ **Resultado del apartado 1:** $$\boxed{\lim_{x \to 0} \frac{\text{sen}(2x^2) + x}{\ln(x + 1) + x} = \frac{1}{2}}$$

**2) [1 PUNTO] ¿Para qué valor de $d$ tiene la función $f(x) = \frac{x^d + 1}{x - 2}$ una asíntota oblicua en $+\infty$? Calcule dicha asíntota.** Para que una función racional (cociente de polinomios) tenga una asíntota oblicua en el infinito, el grado del polinomio del numerador debe ser exactamente una unidad mayor que el grado del polinomio del denominador. En este caso: - Grado del denominador ($x - 2$): $1$ - Grado del numerador ($x^d + 1$): $d$ Para que exista asíntota oblicua, se debe cumplir: $$d = 1 + 1 \implies d = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si el grado del numerador es igual al del denominador hay una asíntota horizontal, y si es menor, la asíntota horizontal es $y=0$.

Con $d = 2$, la función es $f(x) = \frac{x^2 + 1}{x - 2}$. Buscamos la recta $y = mx + n$. Calculamos la pendiente $m$: $$m = \lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x(x - 2)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{x^2 - 2x} = 1$$ Calculamos la ordenada en el origen $n$: $$n = \lim_{x \to +\infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x - 2} - 1x \right)$$ $$n = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1 - (x^2 - 2x)}{x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1 - x^2 + 2x}{x - 2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x + 1}{x - 2} = 2$$ La ecuación de la asíntota es $y = 1x + 2$. ✅ **Resultado del apartado 2:** $$\boxed{d = 2; \quad y = x + 2}$$

A continuación, se muestra la gráfica de la función para $d=2$ y su asíntota oblicua calculada.