Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**1) [1 PUNTO] Clasifique el sistema en función del parámetro $m$.** Para clasificar el sistema, primero escribimos la matriz de coeficientes $A$ y la matriz ampliada $A^*$: $$A = \begin{pmatrix} -1 & m & 0 \\ m & 1 & m \\ 1 & -2m & 0 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & m & 0 & -2 \\ m & 1 & m & 0 \\ 1 & -2m & 0 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de $A$ usando la regla de Sarrus o desarrollando por la tercera columna (que tiene dos ceros): $$|A| = \begin{vmatrix} -1 & m & 0 \\ m & 1 & m \\ 1 & -2m & 0 \end{vmatrix} = -m \cdot \begin{vmatrix} -1 & m \\ 1 & -2m \end{vmatrix}$$ $$|A| = -m \left[ (-1) \cdot (-2m) - (m) \cdot (1) \right] = -m [2m - m] = -m(m) = -m^2$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos de $m$: $$-m^2 = 0 \implies m = 0$$ 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna con ceros simplifica mucho los cálculos. En este caso, la tercera columna es la opción más rápida.

Analizamos el rango de las matrices según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 0$** Si $m \neq 0$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de la matriz $A$ es 3. Como el rango máximo posible es 3 y coincide con el número de incógnitas: $$\text{rango}(A) = \text{rango}(A^*) = 3 = n^\text{o} \text{ incógnitas}$$ Según el **Teorema de Rouché-Frobenius**, el sistema es **Compatible Determinado (SCD)**, por lo que tiene una solución única. **Caso 2: $m = 0$** Si $m = 0$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} -1 & 0 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 3 \end{array}\right)$$ El rango de $A$ es 2, ya que el menor $\begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$. Calculamos el rango de $A^*$ comprobando un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} -1 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{vmatrix} = [(-1)(1)(3)] - [(-2)(1)(1)] = -3 + 2 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 no nulo en $A^*$, $\text{rango}(A^*) = 3$. Dado que $\text{rango}(A) = 2 \neq \text{rango}(A^*) = 3$, el sistema es **Incompatible (SI)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 0: \text{ Sistema Compatible Determinado} \\ m = 0: \text{ Sistema Incompatible} \end{cases}}$$

**2) [2,25 PUNTOS] Calcule todas las soluciones en los casos en los que el sistema sea compatible.** El sistema solo es compatible cuando $m \neq 0$. Resolvemos el sistema en función de $m$ usando la **Regla de Cramer**. Ya sabemos que $|A| = -m^2$. Calculamos los determinantes asociados a cada incógnita: $|A_x| = \begin{vmatrix} -2 & m & 0 \\ 0 & 1 & m \\ 3 & -2m & 0 \end{vmatrix} = -m \begin{vmatrix} -2 & m \\ 3 & -2m \end{vmatrix} = -m (4m - 3m) = -m^2$ $|A_y| = \begin{vmatrix} -1 & -2 & 0 \\ m & 0 & m \\ 1 & 3 & 0 \end{vmatrix} = -m \begin{vmatrix} -1 & -2 \\ 1 & 3 \end{vmatrix} = -m (-3 - (-2)) = -m(-1) = m$ $|A_z| = \begin{vmatrix} -1 & m & -2 \\ m & 1 & 0 \\ 1 & -2m & 3 \end{vmatrix} = (-3 + 0 + 4m^2) - (-2 + 0 + 3m^2) = m^2 - 1$ Finalmente, obtenemos los valores de las incógnitas: $$x = \frac{|A_x|}{|A|} = \frac{-m^2}{-m^2} = 1$$ $$y = \frac{|A_y|}{|A|} = \frac{m}{-m^2} = -\frac{1}{m}$$ $$z = \frac{|A_z|}{|A|} = \frac{m^2 - 1}{-m^2} = \frac{1 - m^2}{m^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que al dividir por el determinante $|A|$, este debe ser distinto de cero, lo cual se cumple pues estamos en el caso $m \neq 0$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 1, \quad y = -\frac{1}{m}, \quad z = \frac{1 - m^2}{m^2} \quad \text{para } m \neq 0}$$