Probabilidad de seguidores de equipos de fútbol y baloncesto

Primero definimos los sucesos del problema: - $F$: Ser seguidor del equipo de fútbol. - $B$: Ser seguidor del equipo de baloncesto. Del enunciado extraemos los siguientes datos: - $P(F) = 0,60$ - $P(B) = 0,60$ - "Todos los habitantes son seguidores de alguno de los dos equipos": Esto significa que la probabilidad de la unión es el total, es decir, $P(F \cup B) = 1$. Podemos organizar la información en una **tabla de contingencia**. Como $P(F \cup B) = 1$, sabemos que $P(\bar{F} \cap \bar{B}) = 0$ (no hay nadie que no siga a ninguno). $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline F & P(F \cap B) & P(F \cap \bar{B}) & 0,60 \\ \bar{F} & P(\bar{F} \cap B) & 0 & 0,40 \\\hline \text{Total} & 0,60 & 0,40 & 1,00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas de probabilidad con dos sucesos, las tablas de contingencia ayudan a visualizar rápidamente las intersecciones y las probabilidades marginales.

**a) La probabilidad de que un habitante sea seguidor de ambos equipos a la vez. (1 punto)** Utilizamos la propiedad de la probabilidad de la unión de dos sucesos: $$P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$ Conocemos $P(F \cup B) = 1$, $P(F) = 0,60$ y $P(B) = 0,60$. Sustituimos y despejamos la intersección: $$1 = 0,60 + 0,60 - P(F \cap B)$$ $$1 = 1,20 - P(F \cap B)$$ $$P(F \cap B) = 1,20 - 1 = 0,20$$ Esto significa que el $20\%$ de los habitantes siguen a ambos equipos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F \cap B) = 0,20}$$

**b) La probabilidad de que un habitante sea únicamente seguidor del equipo de fútbol. (0.5 puntos)** Ser "únicamente seguidor de fútbol" significa ser seguidor de fútbol ($F$) y NO ser seguidor de baloncesto ($\bar{B}$). Esto corresponde a la probabilidad $P(F \cap \bar{B})$. Sabemos que: $$P(F) = P(F \cap B) + P(F \cap \bar{B})$$ Sustituimos los valores conocidos: $$0,60 = 0,20 + P(F \cap \bar{B})$$ $$P(F \cap \bar{B}) = 0,60 - 0,20 = 0,40$$ 💡 **Tip:** También se puede ver como $P(F \setminus B) = P(F) - P(F \cap B)$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F \cap \bar{B}) = 0,40}$$

**c) Se elige al azar un habitante de la ciudad y se comprueba que es seguidor del equipo de baloncesto. ¿Cuál es la probabilidad de que sea también seguidor del equipo de fútbol? (1 punto)** Se nos pide calcular la probabilidad de que sea seguidor de fútbol sabiendo que ya es seguidor de baloncesto. Esto es una probabilidad condicionada: $P(F | B)$. Aplicamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(F | B) = \frac{P(F \cap B)}{P(B)}$$ Sustituimos los valores calculados anteriormente: $$P(F | B) = \frac{0,20}{0,60}$$ $$P(F | B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \approx 0,3333$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B)$ reduce el espacio muestral al suceso $B$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F | B) = \frac{1}{3} \approx 0,3333}$$