Posición relativa de rectas y perpendicularidad de vectores

**a) Estudia la posición relativa de las rectas. (1.25 puntos)** Primero, determinamos un punto $P_r$ y un vector director $\vec{v_r}$ de la recta $r$ que pasa por los puntos $A(2, 1, 0)$ y $B(1, 0, -1)$. El vector director será: $$\vec{v_r} = \vec{AB} = B - A = (1-2, 0-1, -1-0) = (-1, -1, -1)$$ Para trabajar con mayor comodidad, podemos usar el vector director proporcional: $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$. Tomamos como punto de la recta el punto $A$: $P_r(2, 1, 0)$. La ecuación paramétrica de $r$ es: $$r: \begin{cases} x = 2 + \lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Cualquier vector paralelo al vector director original sirve como director de la recta. Cambiar el signo a todos los componentes suele simplificar los cálculos.

La recta $s$ viene dada por la intersección de dos planos: $$s: \begin{cases} x + y = 2 \\ y + z = 0 \end{cases}$$ Para obtener su vector director $\vec{v_s}$, podemos resolver el sistema en función de un parámetro (por ejemplo $y = \mu$): - De $y + z = 0 \implies z = -y = -\mu$ - De $x + y = 2 \implies x = 2 - y = 2 - \mu$ La ecuación paramétrica de $s$ es: $$s: \begin{cases} x = 2 - \mu \\ y = \mu \\ z = -\mu \end{cases}$$ De aquí extraemos el vector director $\vec{v_s} = (-1, 1, -1)$ y un punto $P_s(2, 0, 0)$. 💡 **Tip:** También se puede obtener $\vec{v_s}$ mediante el producto vectorial de los vectores normales de los planos que definen la recta: $\vec{n_1}(1, 1, 0)$ y $\vec{n_2}(0, 1, 1)$.

Analizamos la dependencia lineal de los vectores directores $\vec{v_r} = (1, 1, 1)$ y $\vec{v_s} = (-1, 1, -1)$. Como sus coordenadas no son proporcionales ($\frac{1}{-1} \neq \frac{1}{1}$), los vectores son linealmente independientes. Esto implica que las rectas **se cruzan o se cortan**. Para distinguir ambos casos, calculamos el determinante formado por $\vec{v_r}$, $\vec{v_s}$ y el vector $\vec{P_r P_s}$: $$\vec{P_r P_s} = P_s - P_r = (2-2, 0-1, 0-0) = (0, -1, 0)$$ Calculamos el determinante por Sarrus: $$\det(\vec{v_r}, \vec{v_s}, \vec{P_r P_s}) = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 0 \end{vmatrix}$$ $$= [1 \cdot 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot 0 + 1 \cdot (-1) \cdot (-1)] - [0 \cdot 1 \cdot 1 + (-1) \cdot (-1) \cdot 1 + 0 \cdot (-1) \cdot 1]$$ $$= [0 + 0 + 1] - [0 + 1 + 0] = 1 - 1 = 0$$ Como el determinante es $0$, los tres vectores son coplanarios. Al no ser paralelos, las rectas se cortan en un punto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Las rectas } r \text{ y } s \text{ se cortan en un punto.}}$$

**b) Determina un punto $C$ de la recta $s$ tal que los vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ sean perpendiculares. (1.25 puntos)** Como el punto $C$ pertenece a la recta $s$, sus coordenadas deben satisfacer la ecuación paramétrica de $s$ hallada en el paso 2: $$C(2 - \mu, \mu, -\mu)$$ Ahora expresamos los vectores $\vec{CA}$ y $\vec{CB}$ en función del parámetro $\mu$: $$\vec{CA} = A - C = (2 - (2 - \mu), 1 - \mu, 0 - (-\mu)) = (\mu, 1 - \mu, \mu)$$ $$\vec{CB} = B - C = (1 - (2 - \mu), 0 - \mu, -1 - (-\mu)) = (\mu - 1, -\mu, \mu - 1)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para que dos vectores sean perpendiculares, su producto escalar debe ser igual a cero.

Planteamos la condición de perpendicularidad $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$: $$(\mu, 1 - \mu, \mu) \cdot (\mu - 1, -\mu, \mu - 1) = 0$$ $$\mu(\mu - 1) + (1 - \mu)(-\mu) + \mu(\mu - 1) = 0$$ Operamos cada término: - $\mu^2 - \mu$ - $-\mu + \mu^2$ - $\mu^2 - \mu$ Sumamos los términos: $$(\mu^2 - \mu) + (\mu^2 - \mu) + (\mu^2 - \mu) = 0$$ $$3\mu^2 - 3\mu = 0$$ $$3\mu(\mu - 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones posibles para $\mu$: 1. $\mu = 0$ 2. $\mu = 1$ Calculamos los puntos correspondientes sustituyendo en $C(2 - \mu, \mu, -\mu)$: - Si $\mu = 0 \implies C_1(2, 0, 0)$ - Si $\mu = 1 \implies C_2(1, 1, -1)$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{Existen dos puntos: } C_1(2, 0, 0) \text{ y } C_2(1, 1, -1)}$$