Optimización de una valla publicitaria

Para resolver este problema de optimización, primero definimos las variables que caracterizan la valla rectangular: - Sea $x$ la **anchura** de la valla (en metros). - Sea $y$ la **altura total** del marco de la valla (en metros). El enunciado indica que disponemos de $20 \text{ m}$ de marco metálico para el perímetro del rectángulo: $$P = 2x + 2y = 20$$ Dividiendo entre 2, obtenemos la relación entre las dimensiones: $$x + y = 10 \implies y = 10 - x$$ 💡 **Tip:** Siempre es útil despejar una variable en función de la otra a partir de la restricción (perímetro) para reducir la función objetivo a una sola variable.

El enunciado nos da información sobre la parte de la valla que queda enterrada: 1. La altura hundida es $h = \frac{1}{5} \cdot \text{anchura} = \dfrac{x}{5}$. 2. La altura visible de la valla será la altura total menos la parte hundida: $y_{vis} = y - h$. Sustituyendo $y = 10 - x$ y $h = \frac{x}{5}$: $$y_{vis} = (10 - x) - \frac{x}{5} = 10 - \frac{5x}{5} - \frac{x}{5} = 10 - \frac{6x}{5}$$ El **área visible** $A$ (la parte sombreada) es el producto de la anchura por la altura visible: $$A(x) = x \cdot y_{vis} = x \cdot \left( 10 - \frac{6x}{5} \right)$$ $$A(x) = 10x - \frac{6}{5}x^2$$ Debemos maximizar esta función en el intervalo donde $x \gt 0$ y $y_{vis} \gt 0$. Esto implica $10 - \frac{6x}{5} \gt 0 \implies x \lt \frac{50}{6} = \frac{25}{3} \approx 8.33$.

Para hallar el máximo de $A(x) = 10x - \dfrac{6}{5}x^2$, calculamos su primera derivada e igualamos a cero: $$A'(x) = 10 - \frac{6}{5} \cdot (2x) = 10 - \frac{12}{5}x$$ Resolvemos $A'(x) = 0$: $$10 - \frac{12}{5}x = 0 \implies 10 = \frac{12x}{5} \implies 50 = 12x$$ $$x = \frac{50}{12} = \frac{25}{6} \text{ m}$$ Este es nuestro candidato a máximo. 💡 **Tip:** En problemas de optimización, el máximo suele encontrarse donde la derivada se anula (punto crítico).

Para confirmar que $x = \frac{25}{6}$ es un máximo, utilizamos el criterio de la **segunda derivada**: $$A''(x) = \left( 10 - \frac{12}{5}x \right)' = -\frac{12}{5}$$ Como $A''\left( \frac{25}{6} \right) = -\frac{12}{5} \lt 0$, la función es cóncava hacia abajo en ese punto, lo que confirma la existencia de un **máximo relativo**. También podemos ver el signo de la derivada en una tabla: $$\begin{array}{c|ccc} x & (0, 25/6) & 25/6 & (25/6, 25/3)\\ \hline A'(x) & + & 0 & -\\ \hline A(x) & \nearrow & \text{Máximo} & \searrow \end{array}$$ $$\text{Máximo en } x = \dfrac{25}{6} \approx 4.17 \text{ m}$$

Ahora calculamos la altura total $y$ de la valla a partir de la relación obtenida en el primer paso: $$y = 10 - x = 10 - \frac{25}{6} = \frac{60 - 25}{6} = \frac{35}{6} \text{ m}$$ Las dimensiones que maximizan el área visible son: - **Anchura ($x$):** $\dfrac{25}{6} \text{ m} \approx 4.17 \text{ m}$ - **Altura total ($y$):** $\dfrac{35}{6} \text{ m} \approx 5.83 \text{ m}$ Adicionalmente, si calculamos el área máxima: $$A_{max} = \frac{25}{6} \cdot \left( 10 - \frac{6}{5} \cdot \frac{25}{6} \right) = \frac{25}{6} \cdot (10 - 5) = \frac{25}{6} \cdot 5 = \frac{125}{6} \approx 20.83 \text{ m}^2$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{\text{Anchura } = \frac{25}{6} \text{ m},\; \text{Altura } = \frac{35}{6} \text{ m}}$$