Rango de una matriz y combinaciones lineales

**a) Su rango. (1.5 puntos)** El rango de una matriz es el número de filas o columnas linealmente independientes. Como la matriz $A$ es de dimensión $3 \times 4$, el rango máximo posible es $\min(3, 4) = 3$. Empezamos buscando el menor (determinante) de mayor orden posible que sea distinto de cero. Primero, observamos que existe al menos un elemento distinto de cero, por lo que $\text{rg}(A) \ge 1$. Buscamos ahora un menor de orden 2 distinto de cero, por ejemplo, tomando las dos primeras filas y columnas: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{vmatrix} = (1 \cdot 3) - (0 \cdot 2) = 3 \neq 0.$$ Como existe un menor de orden 2 no nulo, podemos afirmar que el rango es al menos 2. 💡 **Tip:** El rango es el orden del mayor menor no nulo que se pueda extraer de la matriz.

Para ver si el rango es 3, intentamos encontrar un menor de orden 3 que sea distinto de cero. Probamos con las columnas 1, 2 y 3: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot \begin{vmatrix} 3 & 1 \\ 6 & 2 \end{vmatrix} = 1 \cdot (6 - 6) = 0.$$ Este menor es cero, por lo que debemos probar con otra combinación de columnas (por ejemplo, 1, 2 y 4): $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 3 & 4 \\ 1 & 6 & 4 \end{vmatrix}$$ Aplicamos la regla de Sarrus: $$= (1 \cdot 3 \cdot 4) + (0 \cdot 4 \cdot 1) + (1 \cdot 2 \cdot 6) - (1 \cdot 3 \cdot 1) - (0 \cdot 2 \cdot 4) - (1 \cdot 4 \cdot 6)$$ $$= 12 + 0 + 12 - 3 - 0 - 24 = 24 - 27 = -3 \neq 0.$$ Como hemos encontrado un menor de orden 3 distinto de cero, el rango de la matriz es 3. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rg}(A) = 3}$$

**b) Si existe, una columna combinación lineal de las restantes. (0.5 puntos)** En el apartado anterior, vimos que el determinante formado por las columnas $C_1, C_2$ y $C_3$ era cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 3 & 1 \\ 1 & 6 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Esto significa que esas tres columnas son linealmente dependientes. Observando las columnas $C_2 = (0, 3, 6)^T$ y $C_3 = (0, 1, 2)^T$, es evidente que: $$C_2 = 3 \cdot C_3$$ O lo que es lo mismo: $$C_3 = \frac{1}{3} C_2$$ Cualquiera de las dos columnas ($C_2$ o $C_3$) puede considerarse una combinación lineal de las demás (en este caso, de una sola de las restantes). 💡 **Tip:** Si un determinante de un conjunto de vectores es cero, al menos uno de ellos es combinación lineal de los demás. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{La columna } C_3 \text{ es combinación lineal de } C_2 \text{ (concretamente } C_3 = \frac{1}{3}C_2\text{)}} $$

**c) Si existe, una fila combinación lineal de las restantes. (0.5 puntos)** El rango de la matriz representa el número máximo de filas linealmente independientes. En el apartado (a) hemos calculado que: $$\text{rg}(A) = 3$$ Dado que la matriz tiene exactamente 3 filas ($F_1, F_2, F_3$), y el rango es 3, esto implica que las tres filas son linealmente independientes entre sí. Si las filas son linealmente independientes, ninguna de ellas puede expresarse como combinación lineal de las demás. 💡 **Tip:** Si el rango coincide con el número de filas, todas las filas son linealmente independientes. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{No existe ninguna fila que sea combinación lineal de las restantes.}}$$