Probabilidad y Estadística 2018 Asturias
Probabilidad con dados normal y trucado
Consideremos dos dados, uno normal con las caras numeradas del 1 al 6 y otro trucado, con 4 caras con el número 5 y 2 caras con el número 6. Se elige al azar uno de los dados y se lanza.
a) Calcula la probabilidad de sacar 5. (1.25 puntos)
b) Si el resultado de la tirada es 5, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado? (1.25 puntos)
Paso 1
Definición de sucesos y diagrama de árbol
**a) Calcula la probabilidad de sacar 5. (1.25 puntos)**
En primer lugar, definimos los sucesos que intervienen en el experimento:
- $D_N$: Elegir el dado normal.
- $D_T$: Elegir el dado trucado.
- $S_5$: Obtener un 5 en el lanzamiento.
- $S_6$: Obtener un 6 en el lanzamiento.
Datos del problema:
- Dado normal: $P(S_5|D_N) = \frac{1}{6}$ y $P(S_6|D_N) = \frac{1}{6}$.
- Dado trucado: $P(S_5|D_T) = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ y $P(S_6|D_T) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
- Como se elige un dado al azar: $P(D_N) = \frac{1}{2}$ y $P(D_T) = \frac{1}{2}$.
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Aplicar el Teorema de la Probabilidad Total
Para calcular la probabilidad total de sacar un 5, sumamos las probabilidades de las distintas ramas que terminan en ese suceso:
$$P(S_5) = P(D_N) \cdot P(S_5|D_N) + P(D_T) \cdot P(S_5|D_T)$$
Sustituimos los valores conocidos:
$$P(S_5) = \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{6} \right) + \left( \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6} \right)$$
$$P(S_5) = \frac{1}{12} + \frac{4}{12} = \frac{5}{12}$$
Si expresamos el resultado en forma decimal:
$$P(S_5) \approx 0.4167$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes entre sí.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(S_5) = \frac{5}{12}}$$
Paso 3
Aplicar el Teorema de Bayes
**b) Si el resultado de la tirada es 5, ¿cuál es la probabilidad de haber elegido el dado trucado? (1.25 puntos)**
Se trata de una probabilidad a posteriori, ya que conocemos el resultado final (ha salido un 5) y queremos saber la probabilidad de la causa (haber elegido el dado trucado). Utilizaremos el **Teorema de Bayes**:
$$P(D_T|S_5) = \frac{P(D_T \cap S_5)}{P(S_5)} = \frac{P(D_T) \cdot P(S_5|D_T)}{P(S_5)}$$
Ya conocemos los valores del numerador y el denominador (calculado en el apartado anterior):
- Numerador: $P(D_T) \cdot P(S_5|D_T) = \frac{1}{2} \cdot \frac{4}{6} = \frac{4}{12}$
- Denominador: $P(S_5) = \frac{5}{12}$
Calculamos la división:
$$P(D_T|S_5) = \frac{\frac{4}{12}}{\frac{5}{12}} = \frac{4}{5} = 0.8$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite "invertir" la probabilidad condicionada: conociendo $P(B|A)$ y $P(A)$, podemos hallar $P(A|B)$.
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(D_T|S_5) = 0.8}$$