Geometría en el espacio: puntos, rectas y áreas

**a) Determina el punto $C$. (1.5 puntos)** Primero, vamos a expresar la recta $r$ en su forma paramétrica. La recta viene dada por la intersección de dos planos: $x=4$ y $z=1$. Como no hay restricción sobre la coordenada $y$, esta actuará como nuestro parámetro $\lambda$. $$r : \begin{cases} x = 4 \\ y = \lambda \\ z = 1 \end{cases}$$ Cualquier punto $C$ que pertenezca a la recta $r$ tendrá la forma: $$C(4, \lambda, 1)$$ 💡 **Tip:** Para pasar de ecuaciones implícitas a paramétricas, identifica qué variable queda libre. En este caso, $x$ y $z$ son constantes, por lo que $y$ puede tomar cualquier valor real.

El enunciado nos indica que la recta que une $A$ y $C$ es perpendicular a $r$. Esto significa que el vector $\vec{AC}$ debe ser ortogonal al vector director de la recta $r$, que llamaremos $\vec{d_r}$. 1. Hallamos el vector director de $r$ mirando los coeficientes de $\lambda$ en las paramétricas: $$\vec{d_r} = (0, 1, 0)$$ 2. Hallamos el vector $\vec{AC}$ en función de $\lambda$: $$\vec{AC} = C - A = (4 - 0, \lambda - 1, 1 - 0) = (4, \lambda - 1, 1)$$ Para que sean perpendiculares, su producto escalar debe ser cero: $$\vec{AC} \cdot \vec{d_r} = 0$$ $$(4, \lambda - 1, 1) \cdot (0, 1, 0) = 0$$ $$4\cdot 0 + (\lambda - 1)\cdot 1 + 1\cdot 0 = 0$$ $$\lambda - 1 = 0 \implies \lambda = 1$$ 💡 **Tip:** Dos vectores son perpendiculares si y solo si su producto escalar es nulo.

Sustituimos el valor de $\lambda = 1$ en las coordenadas generales del punto $C$ que definimos en el primer paso: $$C(4, 1, 1)$$ ✅ **Resultado (Punto C):** $$\boxed{C(4, 1, 1)}$$

**b) Calcula el área del triángulo. (1 punto)** El área de un triángulo con vértices $A$, $B$ y $C$ en el espacio se calcula mediante la mitad del módulo del producto vectorial de dos vectores que partan del mismo vértice (por ejemplo, $\vec{AB}$ y $\vec{AC}$): $$\text{Área} = \frac{1}{2} |\vec{AB} \times \vec{AC}|$$ 💡 **Tip:** El módulo del producto vectorial $|\vec{u} \times \vec{v}|$ representa el área del paralelogramo formado por los vectores. Por eso, para el triángulo, dividimos entre 2.

Calculamos los vectores necesarios a partir de los puntos $A(0, 1, 0)$, $B(-1, 1, 1)$ y $C(4, 1, 1)$: $$\vec{AB} = B - A = (-1 - 0, 1 - 1, 1 - 0) = (-1, 0, 1)$$ $$\vec{AC} = C - A = (4 - 0, 1 - 1, 1 - 0) = (4, 0, 1)$$ Notamos que ambos vectores están contenidos en el plano $y=1$ (su componente $j$ es 0).

Calculamos $\vec{AB} \times \vec{AC}$ mediante el determinante: $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 0 & 1 \\ 4 & 0 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus o desarrollando por la segunda columna (que tiene muchos ceros): $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i} \begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} -1 & 1 \\ 4 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} -1 & 0 \\ 4 & 0 \end{vmatrix}$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = \vec{i}(0) - \vec{j}(-1 - 4) + \vec{k}(0)$$ $$\vec{AB} \times \vec{AC} = 5\vec{j} = (0, 5, 0)$$ 💡 **Tip:** Si el producto vectorial solo tiene componente en el eje $y$, significa que el triángulo es paralelo al plano $XZ$.

Calculamos el módulo del vector obtenido: $$|\vec{AB} \times \vec{AC}| = \sqrt{0^2 + 5^2 + 0^2} = \sqrt{25} = 5$$ Finalmente, aplicamos la fórmula del área: $$\text{Área} = \frac{1}{2} \cdot 5 = 2.5 \text{ unidades}^2$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área} = 2.5 \text{ u}^2}$$