Área y volumen de un abrevadero mediante integración

**a) Comprueba que el área de la región $S$, sombreada en la figura, en función de $h$ se puede expresar como $S(h) = \frac{4h\sqrt{h}}{3}$. (1.5 puntos)** La región $S$ está delimitada superiormente por la recta horizontal $y = h$ e inferiormente por la parábola $y = x^2$. Para hallar los límites de integración, buscamos los puntos de corte entre ambas funciones: $$x^2 = h \implies x = \pm\sqrt{h}$$ El área $S(h)$ se calcula como la integral de la función superior menos la función inferior entre los límites de corte: $$S(h) = \int_{-\sqrt{h}}^{\sqrt{h}} (h - x^2) \, dx$$ 💡 **Tip:** Debido a la simetría de la parábola respecto al eje $Y$, podemos calcular el área de la mitad derecha y multiplicar por 2: $S(h) = 2 \int_{0}^{\sqrt{h}} (h - x^2) \, dx$.

Aplicamos la regla de Barrow para resolver la integral: $$S(h) = 2 \left[ hx - \frac{x^3}{3} \right]_0^{\sqrt{h}}$$ Evaluamos en los límites: $$S(h) = 2 \left( \left( h\sqrt{h} - \frac{(\sqrt{h})^3}{3} \right) - (0 - 0) \right)$$ Como $(\sqrt{h})^3 = h\sqrt{h}$, simplificamos la expresión: $$S(h) = 2 \left( h\sqrt{h} - \frac{h\sqrt{h}}{3} \right) = 2 \left( \frac{3h\sqrt{h} - h\sqrt{h}}{3} \right) = 2 \left( \frac{2h\sqrt{h}}{3} \right)$$ Obtenemos finalmente: $$\boxed{S(h) = \frac{4h\sqrt{h}}{3}}$$ Esto confirma la expresión dada en el enunciado.

**b) Determina la altura $h$ donde se alcanza la mitad del volumen total del abrevadero. (Nota: Volumen = $S \times \text{longitud}$). (1 punto)** Primero calculamos el volumen total ($V_{total}$). El abrevadero tiene una altura máxima de $1 \text{ m}$, por lo que el área máxima de la sección ocurre en $h = 1$: $$S(1) = \frac{4(1)\sqrt{1}}{3} = \frac{4}{3} \text{ m}^2$$ Sabiendo que la longitud es $L = 6 \text{ m}$: $$V_{total} = S(1) \times 6 = \frac{4}{3} \times 6 = 8 \text{ m}^3$$ 💡 **Tip:** El volumen de un prisma (o abrevadero recto) es el área de su base (o sección transversal) por su longitud: $V = S \cdot L$.

Buscamos la altura $h$ tal que el volumen sea la mitad del total: $$V(h) = \frac{1}{2} V_{total} = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \text{ m}^3$$ Expresamos el volumen en función de $h$: $$V(h) = S(h) \times 6 = \frac{4h\sqrt{h}}{3} \times 6 = 8h\sqrt{h}$$ Igualamos a la mitad del volumen total: $$8h\sqrt{h} = 4 \implies h\sqrt{h} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$ Para resolver $h\sqrt{h} = 1/2$, expresamos la raíz como potencia: $$h^1 \cdot h^{1/2} = 0.5 \implies h^{3/2} = 0.5$$ $$h = (0.5)^{2/3} = \sqrt[3]{0.5^2} = \sqrt[3]{0.25}$$ Calculando el valor numérico: $$h \approx 0.63 \text{ m}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{h = \sqrt[3]{0.25} \approx 0.63 \text{ m}}$$