Discusión y resolución de un sistema con parámetro

**1. Discutir el sistema y resolver en los casos compatibles (2.5 puntos)** Comenzamos escribiendo el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ es la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{pmatrix}, \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & a \\ 2 & 1 & 2 & 2a \\ 2 & 1 & 3 & 3 \end{array}\right)$$ Calculamos el determinante de la matriz $A$ para estudiar su rango: $$|A| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{vmatrix}$$ Observamos que la primera columna es el doble de la segunda ($C_1 = 2C_2$). Por las propiedades de los determinantes, si una fila o columna es proporcional a otra, el determinante es cero: $$|A| = (2 \cdot 1 \cdot 3 + 1 \cdot 2 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 2 + 2 \cdot 2 \cdot 2 + 3 \cdot 2 \cdot 1) = (6 + 4 + 2) - (2 + 8 + 6) = 12 - 16 = -4$$ *Error de cálculo manual corregido:* $$|A| = (6 + 4 + 2) - (2 + 8 + 6) = 12 - 16 = -4$$. Revisando de nuevo el determinante mediante Sarrus: $$|A| = (2\cdot 1 \cdot 3) + (1 \cdot 2 \cdot 2) + (1 \cdot 2 \cdot 1) - [ (1 \cdot 1 \cdot 2) + (2 \cdot 2 \cdot 2) + (3 \cdot 2 \cdot 1) ]$$ $$|A| = (6 + 4 + 2) - (2 + 8 + 6) = 12 - 16 = -4$$ *Nota:* Al no ser cero, el rango de $A$ sería 3. Sin embargo, revisando la matriz, la columna 1 es $(2, 2, 2)$ y la columna 2 es $(1, 1, 1)$. Claramente $C_1 = 2C_2$, por lo que el determinante **debe ser 0**. Recalculamos con cuidado: $$|A| = 2(3-2) - 1(6-4) + 1(2-2) = 2(1) - 1(2) + 0 = 0$$ 💡 **Tip:** Si detectas columnas proporcionales a simple vista, el determinante es 0. Aquí $C_1 = 2C_2$, lo que simplifica el análisis. $$\boxed{|A| = 0}$$

Como $|A| = 0$, el $rg(A) < 3$. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0$$ Por tanto, **$rg(A) = 2$** para cualquier valor de $a$. Para estudiar el $rg(A^*)$, tomamos un menor de orden 3 que incluya la columna de términos independientes: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & a \\ 1 & 2 & 2a \\ 1 & 3 & 3 \end{vmatrix}$$ Resolvemos por Sarrus: $$|M| = (1 \cdot 2 \cdot 3) + (1 \cdot 2a \cdot 1) + (a \cdot 1 \cdot 3) - [ (a \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot 3) + (3 \cdot 2a \cdot 1) ]$$ $$|M| = (6 + 2a + 3a) - (2a + 3 + 6a) = 6 + 5a - 3 - 8a = 3 - 3a$$ Analizamos cuándo este determinante es cero: $$3 - 3a = 0 \implies 3a = 3 \implies a = 1$$ 💡 **Tip:** El rango de la matriz ampliada $A^*$ será 2 si todos los menores de orden 3 son cero, y será 3 si al menos uno es distinto de cero.

Aplicamos el **Teorema de Rouché-Capelli** para discutir el sistema: 1. **Caso $a \neq 1$**: $|M| \neq 0 \implies rg(A^*) = 3$. Como $rg(A) = 2$ y $rg(A^*) = 3$, entonces $rg(A) \neq rg(A^*)$. **El sistema es Incompatible (SI)**, no tiene solución. 2. **Caso $a = 1$**: $|M| = 0$ y ya sabemos que $rg(A) = 2$. Al ser la columna 1 proporcional a la columna 2, cualquier menor de orden 3 de $A^*$ que contenga a $C_1$ y $C_2$ será cero. El menor $|M|$ que contenía a $C_2, C_3$ y $B$ también es cero para $a=1$. Por tanto, $rg(A) = rg(A^*) = 2$. Como el número de incógnitas es $n=3$, y $rg(A) = rg(A^*) < n$: **El sistema es Compatible Indeterminado (SCI)**, tiene infinitas soluciones. ✅ **Resultado de la discusión:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1: \text{ Sistema Incompatible. Si } a = 1: \text{ Sistema Compatible Indeterminado.}}$$

Para $a = 1$, el sistema es: $$\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ 2x + y + 2z = 2 \\ 2x + y + 3z = 3 \end{cases}$$ Como el $rg(A)=2$, podemos eliminar una ecuación que sea combinación lineal de las otras (la tercera, por ejemplo) y quedarnos con un sistema de dos ecuaciones. Además, como el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix}$ (correspondiente a las incógnitas $y, z$) era distinto de cero, dejamos $x$ como parámetro $x = \lambda$. El sistema reducido es: $$\begin{cases} y + z = 1 - 2\lambda \\ y + 2z = 2 - 2\lambda \end{cases}$$ Restamos la primera ecuación a la segunda para eliminar $y$: $$(y + 2z) - (y + z) = (2 - 2\lambda) - (1 - 2\lambda)$$ $$z = 1$$ Sustituimos $z = 1$ en la primera ecuación: $$y + 1 = 1 - 2\lambda \implies y = -2\lambda$$ Las soluciones dependen del parámetro real $\lambda$: $$\begin{cases} x = \lambda \\ y = -2\lambda \\ z = 1 \end{cases} \text{ con } \lambda \in \mathbb{R}$$ 💡 **Tip:** En un SCI, siempre debemos expresar las incógnitas en función de uno o más parámetros. El número de parámetros es $n - rg(A) = 3 - 2 = 1$. ✅ **Resultado (solución para a=1):** $$\boxed{(x, y, z) = (\lambda, -2\lambda, 1), \forall \lambda \in \mathbb{R}}$$