Probabilidad con tabla de contingencia y extracciones sucesivas

Para resolver este tipo de ejercicios, lo primero es definir los sucesos y completar la tabla con los totales de filas y columnas. Definimos los sucesos: - $H$: Ser hombre. - $M$: Ser mujer. - $F$: Ser fumador. - $NF$: Ser no fumador. Construimos la tabla de contingencia sumando los valores: $$\begin{array}{c|cc|c} & \text{Fumador (F)} & \text{No fumador (NF)} & \text{Total} \\ \hline \text{Hombres (H)} & 10 & 30 & 40 \\ \text{Mujeres (M)} & 20 & 40 & 60 \\ \hline \text{Total} & 30 & 70 & 100 \end{array}$$ El número total de personas en el grupo es $N = 100$. 💡 **Tip:** Completar siempre los totales en las tablas de doble entrada facilita mucho el uso de la regla de Laplace (casos favorables / casos totales).

**a) Sea fumador. (0.5 puntos)** Utilizamos la regla de Laplace. Consultamos en nuestra tabla el total de personas fumadoras y el total de personas del grupo. - Casos favorables (Fumadores): $n(F) = 30$ - Casos totales: $N = 100$ $$P(F) = \frac{n(F)}{N} = \frac{30}{100} = 0.3$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F) = 0.3}$$

**b) Sabiendo que es fumador, se trate de una mujer. (1 punto)** Nos piden la probabilidad de que sea mujer dado que es fumador, es decir, $P(M|F)$. Al ser una probabilidad condicionada, nuestro espacio muestral se reduce solo a los fumadores. - Casos favorables (Mujeres fumadoras): $n(M \cap F) = 20$ - Casos totales (Total de fumadores): $n(F) = 30$ $$P(M|F) = \frac{n(M \cap F)}{n(F)} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3} \approx 0.6667$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$. En tablas de contingencia, basta con mirar la fila o columna de la condición. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(M|F) = \frac{2}{3} \approx 0.667}$$

**c) Se extrae una segunda persona al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que una fume y la otra no? (1 punto)** Al extraer dos personas de un grupo finito, se entiende que es un muestreo **sin reemplazo**. El suceso "una fume y la otra no" puede ocurrir de dos formas ordenadas: 1. La primera fuma ($F_1$) y la segunda no ($NF_2$). 2. La primera no fuma ($NF_1$) y la segunda fuma ($F_2$). $P(\text{Una fuma, una no}) = P(F_1 \cap NF_2) + P(NF_1 \cap F_2)$ Calculamos cada término teniendo en cuenta que al extraer la segunda persona, el total del grupo ha bajado a $99$: - **Caso 1 ($F_1$ y $NF_2$):** $$P(F_1 \cap NF_2) = P(F_1) \cdot P(NF_2 | F_1) = \frac{30}{100} \cdot \frac{70}{99} = \frac{2100}{9900}$$ - **Caso 2 ($NF_1$ y $F_2$):** $$P(NF_1 \cap F_2) = P(NF_1) \cdot P(F_2 | NF_1) = \frac{70}{100} \cdot \frac{30}{99} = \frac{2100}{9900}$$ Sumamos ambas probabilidades: $$P = \frac{2100}{9900} + \frac{2100}{9900} = \frac{4200}{9900} = \frac{42}{99}$$ Simplificamos dividiendo entre 3: $$\frac{42}{99} = \frac{14}{33} \approx 0.4242$$ 💡 **Tip:** En extracciones sucesivas, fíjate si el enunciado indica "con devolución" o "sin devolución". Si no dice nada y el grupo es pequeño, se asume sin devolución. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P = \frac{14}{33} \approx 0.4242}$$