Geometría en el espacio: Distancias y planos

**a) Calcula el punto $P$ de la recta $r$ que verifica $d(P, Q) = 1 u$. (1.25 puntos)** Para trabajar con mayor comodidad, expresamos la recta $r$ en ecuaciones paramétricas. La recta viene definida por la intersección de dos planos: $$r : \begin{cases} y = 1 \\ z = 0 \end{cases}$$ Como $y$ y $z$ son constantes, tomamos $x$ como el parámetro $\lambda$: $$r : \begin{cases} x = \lambda \\ y = 1 \\ z = 0 \end{cases} \implies P(\lambda, 1, 0)$$ Cualquier punto $P$ perteneciente a la recta tendrá esa forma para algún valor de $\lambda \in \mathbb{R}$.

Utilizamos la fórmula de la distancia entre dos puntos $P(\lambda, 1, 0)$ y $Q(1, 1, 1)$ e igualamos a $1$: $$d(P, Q) = \sqrt{(\lambda - 1)^2 + (1 - 1)^2 + (0 - 1)^2} = 1$$ Operamos dentro de la raíz: $$\sqrt{(\lambda - 1)^2 + 0^2 + (-1)^2} = 1$$ $$\sqrt{(\lambda - 1)^2 + 1} = 1$$ Elevamos ambos miembros al cuadrado para eliminar la raíz: $$(\lambda - 1)^2 + 1 = 1^2$$ $$(\lambda - 1)^2 = 0 \implies \lambda - 1 = 0 \implies \lambda = 1$$ Sustituyendo $\lambda = 1$ en las coordenadas de $P$: $$\boxed{P(1, 1, 0)}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la distancia entre dos puntos $A(x_1, y_1, z_1)$ y $B(x_2, y_2, z_2)$ es $d(A, B) = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 + (z_2-z_1)^2}$.

**b) Se sabe que $Q \notin \pi$ y que $d(P, Q) = d(P, \pi)$. Determina la ecuación del plano $\pi$. (1.25 puntos)** Del apartado anterior sabemos que $d(P, Q) = 1$. Por lo tanto, la condición del enunciado nos indica que la distancia del punto $P$ al plano $\pi$ debe ser también $1$: $$d(P, \pi) = 1$$ Al pedirnos "la" ecuación de un plano específico utilizando solo los puntos $P$ y $Q$, debemos considerar la relación geométrica más directa. El vector $\vec{PQ}$ es perpendicular a la recta $r$, ya que $\vec{v}_r = (1, 0, 0)$ y $\vec{PQ} = (1-1, 1-1, 1-0) = (0, 0, 1)$. El producto escalar es $(1,0,0) \cdot (0,0,1) = 0$. Supondremos que el plano $\pi$ tiene como vector normal el vector $\vec{n} = \vec{PQ} = (0, 0, 1)$. La ecuación general del plano será: $$0x + 0y + 1z + D = 0 \implies z + D = 0$$

Aplicamos la fórmula de la distancia del punto $P(1, 1, 0)$ al plano $\pi : z + D = 0$: $$d(P, \pi) = \frac{|0 + D|}{\sqrt{0^2 + 0^2 + 1^2}} = |D| = 1$$ Esto nos da dos posibles valores para $D$: $1$ y $-1$. 1. Si $D = -1$: El plano sería $\pi_1 : z - 1 = 0$. Si comprobamos el punto $Q(1, 1, 1)$, vemos que $1 - 1 = 0$, por lo que $Q \in \pi_1$. El enunciado especifica que **$Q \notin \pi$**, por lo que descartamos esta opción. 2. Si $D = 1$: El plano es $\pi : z + 1 = 0$. Comprobamos $Q(1, 1, 1)$: $1 + 1 = 2 \neq 0$. Por tanto, $Q \notin \pi$, cumpliendo todas las condiciones. 💡 **Tip:** La distancia de un punto $(x_0, y_0, z_0)$ a un plano $Ax+By+Cz+D=0$ es $\frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{z + 1 = 0}$$

A continuación, se muestra la disposición de la recta $r$, el punto $Q$ y el plano $\pi$ hallado. Observa que $P$ es el punto de la recta más cercano a $Q$, y el plano se sitúa paralelo a la recta $r$.