Estudio completo e integración de una función racional

**a) Estudia su dominio de definición y calcula sus asíntotas. (0.75 puntos)** El dominio de una función racional es el conjunto de todos los números reales excepto aquellos que anulan el denominador. Resolvemos la ecuación del denominador: $$x^2 + x - 6 = 0$$ Usamos la fórmula cuadrática: $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-6)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-1 \pm 5}{2}$$ Esto nos da dos soluciones: $$x_1 = \frac{4}{2} = 2, \quad x_2 = \frac{-6}{2} = -3$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para funciones racionales $\frac{P(x)}{Q(x)}$, el dominio es $\mathbb{R} \setminus \{x \mid Q(x) = 0\}$. ✅ **Resultado (Dominio):** $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{-3, 2\}}$$

Las asíntotas verticales suelen encontrarse en los puntos donde el denominador se anula y el numerador es distinto de cero. Comprobamos los límites laterales en $x = -3$ y $x = 2$: Para $x = -3$: $$\lim_{x \to -3} \frac{1}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{0} = \infty$$ Para $x = 2$: $$\lim_{x \to 2} \frac{1}{x^2 + x - 6} = \frac{1}{0} = \infty$$ Como los límites son infinitos, existen asíntotas verticales en ambos valores. ✅ **Resultado (AV):** $$\boxed{x = -3, \quad x = 2}$$

Calculamos el límite cuando $x \to \pm \infty$ para las asíntotas horizontales: $$\lim_{x \to \pm \infty} \frac{1}{x^2 + x - 6} = 0$$ Como el límite es una constante finita, existe una asíntota horizontal en $y = 0$. 💡 **Tip:** Si una función racional tiene el grado del denominador mayor que el grado del numerador, el eje $X$ ($y=0$) es siempre asíntota horizontal. Al existir asíntota horizontal en ambos lados, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (AH):** $$\boxed{y = 0}$$

**b) Estudia sus máximos, mínimos y puntos de inflexión. (0.75 puntos)** Calculamos $f'(x)$ usando la regla de la cadena o la regla del cociente. Reescribimos $f(x) = (x^2+x-6)^{-1}$: $$f'(x) = -1 \cdot (x^2+x-6)^{-2} \cdot (2x+1) = \frac{-(2x+1)}{(x^2+x-6)^2}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$-(2x+1) = 0 \implies 2x = -1 \implies x = -\frac{1}{2}$$ Estudiamos el signo de $f'(x)$ en los intervalos definidos por el dominio y el punto crítico: $$\begin{array}{c|ccccccc} x & (-\infty,-3) & -3 & (-3,-1/2) & -1/2 & (-1/2, 2) & 2 & (2,+\infty) \\ \hline f'(x) & + & \nexists & + & 0 & - & \nexists & - \end{array}$$ - En $x = -1/2$, la función pasa de crecer a decrecer, por lo que hay un **máximo relativo**. - Calculamos la ordenada: $f(-1/2) = \frac{1}{(-1/2)^2 + (-1/2) - 6} = \frac{1}{1/4 - 1/2 - 6} = \frac{1}{-25/4} = -\frac{4}{25} = -0.16$. ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } \left(-\frac{1}{2}, -\frac{4}{25}\right). \text{ No hay mínimos relativos.}}$$

Calculamos $f''(x)$ derivando $f'(x) = -(2x+1)(x^2+x-6)^{-2}$: $$f''(x) = -2(x^2+x-6)^{-2} - (2x+1) \cdot (-2) \cdot (x^2+x-6)^{-3} \cdot (2x+1)$$ $$f''(x) = \frac{-2}{(x^2+x-6)^2} + \frac{2(2x+1)^2}{(x^2+x-6)^3} = \frac{-2(x^2+x-6) + 2(4x^2+4x+1)}{(x^2+x-6)^3}$$ $$f''(x) = \frac{-2x^2-2x+12 + 8x^2+8x+2}{(x^2+x-6)^3} = \frac{6x^2+6x+14}{(x^2+x-6)^3}$$ Para los puntos de inflexión, buscamos $f''(x) = 0$: $$6x^2+6x+14 = 0 \implies 3x^2+3x+7 = 0$$ El discriminante es $\Delta = 3^2 - 4(3)(7) = 9 - 84 = -75 \lt 0$. Como el numerador no tiene raíces reales, no hay puntos de inflexión. ✅ **Resultado (Inflexión):** $$\boxed{\text{No existen puntos de inflexión}}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=\\frac{1}{x^2+x-6}", "color": "#2563eb" }, { "id": "av1", "latex": "x=-3", "lineStyle": "DASHED", "color": "#ef4444" }, { "id": "av2", "latex": "x=2", "lineStyle": "DASHED", "color": "#ef4444" }, { "id": "ah", "latex": "y=0", "lineStyle": "DASHED", "color": "#16a34a" }, { "id": "max", "latex": "(-0.5, -0.16)", "showLabel": true, "label": "Máximo" } ], "bounds": { "left": -10, "right": 10, "bottom": -5, "top": 5 } } }

**c) Calcula una primitiva de la función $f(x)$. (1 punto)** Queremos calcular $\int \frac{1}{x^2+x-6} dx$. Al ser una función racional con raíces reales en el denominador, usamos fracciones simples: $$\frac{1}{(x-2)(x+3)} = \frac{A}{x-2} + \frac{B}{x+3}$$ Multiplicando por el denominador común: $$1 = A(x+3) + B(x-2)$$ - Si $x = 2$: $1 = A(5) \implies A = 1/5$ - Si $x = -3$: $1 = B(-5) \implies B = -1/5$ Por tanto: $$\int \frac{1}{x^2+x-6} dx = \int \left( \frac{1/5}{x-2} - \frac{1/5}{x+3} \right) dx$$ $$= \frac{1}{5} \ln |x-2| - \frac{1}{5} \ln |x+3| + C$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\int \frac{1}{x+a} dx = \ln |x+a| + C$. ✅ **Resultado (Primitiva):** $$\boxed{F(x) = \frac{1}{5} \ln \left| \frac{x-2}{x+3} \right| + C}$$