Inversa de una matriz y ecuación matricial

**a) Calcula, si existe, la inversa de $B$. (1 punto)** Para que una matriz tenga inversa, su determinante debe ser distinto de cero. Calculamos el determinante de $B$ aplicando la regla de Sarrus: $$\det(B) = \begin{vmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 \cdot 1) - (1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 0 \cdot 0 \cdot 1)$$ $$\det(B) = (1 + 0 + 0) - (1 + 1 + 0) = 1 - 2 = -1$$ Como $\det(B) = -1 \neq 0$, la matriz **$B$ es invertible**. 💡 **Tip:** Recuerda que una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es no nulo.

Calculamos los adjuntos de cada elemento de la matriz $B = (b_{ij})$: $B_{11} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $B_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$; $B_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $B_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -(-1) = 1$; $B_{22} = +\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 0$; $B_{23} = -\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$ $B_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $B_{32} = -\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = -1$; $B_{33} = +\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = 1$ La matriz adjunta es: $$\text{Adj}(B) = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$

La fórmula para la matriz inversa es $B^{-1} = \frac{1}{|B|} [\text{Adj}(B)]^t$. Transponemos la matriz adjunta (aunque en este caso es simétrica): $$[\text{Adj}(B)]^t = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix}$$ Dividimos por el determinante $\det(B) = -1$: $$B^{-1} = \frac{1}{-1} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ 1 & 0 & -1 \\ -1 & -1 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ ✅ **Resultado (matriz inversa):** $$\boxed{B^{-1} = \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) Determina, si existe, la matriz $X$ que verifica la relación $AXB = C$. (1.5 puntos)** Para despejar $X$ en la ecuación matricial $AXB = C$, multiplicamos por la izquierda por $A^{-1}$ y por la derecha por $B^{-1}$: 1. Multiplicamos por $A^{-1}$ a la izquierda: $A^{-1} (AXB) = A^{-1} C \implies (A^{-1} A) XB = A^{-1} C \implies I XB = A^{-1} C \implies XB = A^{-1} C$ 2. Multiplicamos por $B^{-1}$ a la derecha: $(XB) B^{-1} = (A^{-1} C) B^{-1} \implies X (B B^{-1}) = A^{-1} C B^{-1} \implies X I = A^{-1} C B^{-1}$ Por tanto: $$X = A^{-1} \cdot C \cdot B^{-1}$$ 💡 **Tip:** En álgebra matricial, el orden de los productos es fundamental porque el producto de matrices no es conmutativo ($AB \neq BA$).

Necesitamos $A^{-1}$. Calculamos el determinante de $A$: $$\det(A) = \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot 1) - (0 \cdot 3) = 1$$ Calculamos su adjunta y trasponemos: $A_{11} = 1, A_{12} = 0, A_{21} = -3, A_{22} = 1$ $$\text{Adj}(A) = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ -3 & 1 \end{pmatrix} \implies [\text{Adj}(A)]^t = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ $$A^{-1} = \frac{1}{1} \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Para matrices $2\times 2$, la inversa se halla rápido intercambiando los elementos de la diagonal principal y cambiando el signo de los de la secundaria, dividiendo luego por el determinante.

Primero calculamos el producto $D = A^{-1} \cdot C$: $$D = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-3 & 2-0 & 0-6 \\ 0+1 & 0+0 & 0+2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -6 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix}$$ Ahora multiplicamos el resultado por $B^{-1}$: $$X = D \cdot B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 2 & -6 \\ 1 & 0 & 2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 & 1 \\ -1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - $x_{11} = (-2)(0) + (2)(-1) + (-6)(1) = -8$ - $x_{12} = (-2)(-1) + (2)(0) + (-6)(1) = 2 - 6 = -4$ - $x_{13} = (-2)(1) + (2)(1) + (-6)(-1) = -2 + 2 + 6 = 6$ - $x_{21} = (1)(0) + (0)(-1) + (2)(1) = 2$ - $x_{22} = (1)(-1) + (0)(0) + (2)(1) = -1 + 2 = 1$ - $x_{23} = (1)(1) + (0)(1) + (2)(-1) = 1 - 2 = -1$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -8 & -4 & 6 \\ 2 & 1 & -1 \end{pmatrix}}$$