Rectas perpendiculares y planos en el espacio

**a) Un vector director $\vec{v}_1$ de $r$. (0.75 puntos)** La recta $r$ viene dada en su forma continua: $$r : \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{1} = \frac{z+2}{1}$$ En esta forma, los denominadores corresponden directamente a las componentes de un vector director de la recta. Por lo tanto: $$\vec{v}_1 = (2, 1, 1)$$ Además, podemos identificar un punto $P_r$ de la recta $r$ que nos servirá más adelante: $$P_r = (1, -1, -2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la ecuación continua de la recta es $\frac{x-x_0}{v_x} = \frac{y-y_0}{v_y} = \frac{z-z_0}{v_z}$, donde $(v_x, v_y, v_z)$ es el vector director. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v}_1 = (2, 1, 1)}$$

**b) Un vector director $\vec{v}_2$ de $s$ sabiendo que $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ es proporcional al vector $(0, 1, -1)$. (1 punto)** Para hallar $\vec{v}_2$ contamos con dos condiciones: 1. Las rectas $r$ y $s$ son perpendiculares, por lo que sus vectores directores deben serlo: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = 0$. 2. El producto vectorial $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ es el vector normal del plano $\pi$ que contiene a ambas rectas. El enunciado nos dice que este vector es proporcional a $\vec{n} = (0, 1, -1)$. Sabemos que el producto vectorial $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ es perpendicular tanto a $\vec{v}_1$ como a $\vec{v}_2$. Si $\vec{v}_1 \times \vec{v}_2$ es proporcional a $\vec{n} = (0, 1, -1)$, entonces $\vec{v}_2$ debe ser perpendicular a $\vec{n}$. Por tanto, $\vec{v}_2$ es un vector perpendicular a la vez a $\vec{v}_1$ y a $\vec{n}$. Podemos calcularlo mediante su producto vectorial: $$\vec{v}_2 = \vec{v}_1 \times \vec{n}$$ 💡 **Tip:** Si un vector es perpendicular a otros dos, su dirección coincide con la del producto vectorial de estos.

Calculamos $\vec{v}_2 = \vec{v}_1 \times (0, 1, -1)$ mediante el determinante: $$\vec{v}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & -1 \end{vmatrix}$$ Desarrollamos por Sarrus: $$\vec{v}_2 = [1 \cdot (-1)] \mathbf{i} + [1 \cdot 0] \mathbf{j} + [2 \cdot 1] \mathbf{k} - [0 \cdot 1] \mathbf{k} - [1 \cdot 1] \mathbf{i} - [(-1) \cdot 2] \mathbf{j}$$ $$\vec{v}_2 = (-1 - 1) \mathbf{i} + (0 + 2) \mathbf{j} + (2 - 0) \mathbf{k} = (-2, 2, 2)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2 para trabajar con valores más sencillos: $$\vec{v}_2 = (-1, 1, 1)$$ Comprobamos la perpendicularidad: $\vec{v}_1 \cdot \vec{v}_2 = (2, 1, 1) \cdot (-1, 1, 1) = -2 + 1 + 1 = 0$. Es correcto. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\vec{v}_2 = (-1, 1, 1)}$$

**c) Las ecuaciones del plano $\pi$ que contiene ambas rectas. (0.75 puntos)** El plano $\pi$ contiene a las rectas $r$ y $s$. Para definir un plano necesitamos un punto y un vector normal. - **Punto:** Como las rectas se cortan, cualquier punto de $r$ o $s$ pertenece al plano. Usamos $P_r = (1, -1, -2)$ obtenido en el apartado (a). - **Vector normal ($\vec{n}_\pi$):** El enunciado nos dice que el producto vectorial de los directores es proporcional a $(0, 1, -1)$. Por tanto, tomamos como vector normal: $$\vec{n}_\pi = (0, 1, -1)$$ La ecuación general del plano es $Ax + By + Cz + D = 0$. Sustituimos las componentes de $\vec{n}_\pi$: $$0x + 1y - 1z + D = 0 \implies y - z + D = 0$$ Sustituimos el punto $P_r(1, -1, -2)$ para hallar $D$: $$-1 - (-2) + D = 0$$ $$-1 + 2 + D = 0 \implies 1 + D = 0 \implies D = -1$$ La ecuación del plano es: $$\pi : y - z - 1 = 0$$ 💡 **Tip:** Un plano que contiene dos rectas tiene como vector normal el producto vectorial de los vectores directores de dichas rectas. ✅ **Resultado:** $$\boxed{y - z - 1 = 0}$$