Optimización de rampa: Tiempo de recorrido

**a) Calcula, en función de $m$, el valor de $b$ y comprueba que la longitud de la rampa $L$ se puede expresar como $L(m) = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m^2}}$ (0.5 puntos)** En el triángulo rectángulo formado por la rampa, la altura $h$ es el cateto opuesto al ángulo $\alpha$ y la base $b$ es el cateto contiguo. La pendiente $m$ se define como la tangente del ángulo: $$m = \tan(\alpha) = \frac{\text{cateto opuesto}}{\text{cateto contiguo}} = \frac{h}{b}$$ Como nos dan $h = 20$, sustituimos y despejamos $b$: $$m = \frac{20}{b} \implies \boxed{b = \frac{20}{m}}$$ Para hallar la longitud $L$ (hipotenusa), usamos el Teorema de Pitágoras: $$L^2 = h^2 + b^2 = 20^2 + \left(\frac{20}{m}\right)^2 = 400 + \frac{400}{m^2}$$ Sacamos factor común $400$ y operamos la fracción: $$L^2 = 400 \left( 1 + \frac{1}{m^2} \right) = 400 \left( \frac{m^2 + 1}{m^2} \right)$$ Extrayendo la raíz cuadrada (tomamos el valor positivo porque es una longitud): $$L(m) = \sqrt{400 \frac{m^2 + 1}{m^2}} = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m^2}}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que $\sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b}$. Aquí hemos aplicado $\sqrt{400} = 20$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{L(m) = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m^2}}}$$

**b) El camión se mueve a una velocidad constante que depende de la pendiente $m$ y se expresa, en metros por segundo, a través de la función $v(m) = \frac{1}{\sqrt{m}}$. Demuestra que el tiempo $t$, en segundos, que tarda un camión en recorrer la rampa se puede expresar como $t(m) = 20 \frac{\sqrt{m^2 + 1}}{\sqrt{m}}$ (0.5 puntos)** Sabemos que el tiempo es el cociente entre el espacio recorrido ($L$) y la velocidad ($v$): $$t = \frac{\text{espacio}}{\text{velocidad}} = \frac{L(m)}{v(m)}$$ Sustituimos las expresiones de $L(m)$ y $v(m)$: $$t(m) = \frac{20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m^2}}}{\frac{1}{\sqrt{m}}} = 20 \frac{\frac{\sqrt{m^2 + 1}}{m}}{\frac{1}{\sqrt{m}}}$$ Multiplicamos por el inverso de la fracción del denominador: $$t(m) = 20 \frac{\sqrt{m^2 + 1}}{m} \cdot \sqrt{m} = 20 \frac{\sqrt{m^2 + 1} \cdot \sqrt{m}}{(\sqrt{m})^2} = 20 \frac{\sqrt{m^2 + 1}}{\sqrt{m}}$$ También podemos expresarlo todo bajo una misma raíz para facilitar la derivada posterior: $$t(m) = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m}}$$ 💡 **Tip:** Simplificar la expresión uniendo las raíces suele facilitar mucho el cálculo de la derivada en los problemas de optimización. ✅ **Resultado:** $$\boxed{t(m) = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m}}}$$

**c) Calcula la pendiente $m$ que hace mínimo el tiempo de recorrido de un camión. (1.5 puntos)** Para minimizar $t(m)$, derivamos la función respecto a $m$ e igualamos a cero. Usaremos la expresión $t(m) = 20 \sqrt{\frac{m^2 + 1}{m}} = 20 \left( \frac{m^2 + 1}{m} \right)^{1/2} = 20 (m + m^{-1})^{1/2}$. Derivamos usando la regla de la cadena: $$t'(m) = 20 \cdot \frac{1}{2} \left( m + \frac{1}{m} \right)^{-1/2} \cdot \left( 1 - \frac{1}{m^2} \right)$$ $$t'(m) = \frac{10}{\sqrt{m + \frac{1}{m}}} \cdot \frac{m^2 - 1}{m^2}$$ Igualamos la derivada a cero: $$t'(m) = 0 \iff m^2 - 1 = 0 \implies m^2 = 1$$ Como el enunciado indica que $m > 0$: $$m = 1$$ 💡 **Tip:** Si tienes una función del tipo $f(x) = \sqrt{g(x)}$, los extremos relativos de $f$ coinciden con los de $g$ (siempre que $g(x) > 0$). Podrías haber derivado simplemente $g(m) = m + \frac{1}{m}$.

Estudiamos el signo de la derivada a izquierda y derecha de $m=1$ para confirmar que es un mínimo. El denominador de $t'(m)$ es siempre positivo para $m > 0$, por lo que el signo depende de $m^2 - 1$. $$\begin{array}{c|ccc} m & (0, 1) & 1 & (1, +\infty)\\ \hline t'(m) & - & 0 & +\\ \hline t(m) & \searrow & \text{Mínimo} & \nearrow \end{array}$$ - Si $m \in (0, 1)$, $t'(m) < 0$, la función decrece. - Si $m > 1$, $t'(m) > 0$, la función crece. Por tanto, en $m = 1$ hay un **mínimo relativo**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{m = 1}$$