Rango de una matriz con parámetros y resolución de sistema

**a) Estudiar el rango de $A$ según los valores de $m$. (1.5 puntos)** La matriz $A$ es de dimensión $3 \times 5$, por lo que el rango máximo posible es $3$. El rango de $A$ será el orden del mayor menor no nulo que podamos encontrar. Observamos que las columnas 4 y 5 son: $C_4 = \begin{pmatrix} m \\ m \\ m \end{pmatrix} = m \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ y $C_5 = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix}$. Esto implica que $C_4$ es proporcional a $C_5$. Además, si $m=1$, todas las columnas $C_2, C_4$ y $C_5$ son iguales. Para estudiar el rango, seleccionamos una submatriz cuadrada de orden 3, por ejemplo, la formada por las tres primeras columnas: $$M = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** El rango de una matriz no cambia si eliminamos columnas que son combinación lineal de otras. Aquí, $C_4$ y $C_5$ son claramente dependientes entre sí (si $m \neq 0$).

Calculamos el determinante de $M$ utilizando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 1 & m & 1 \\ m & 1 & 1 \end{vmatrix} = (1 \cdot m \cdot 1) + (1 \cdot 1 \cdot m) + (2 \cdot 1 \cdot 1) - (2 \cdot m \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1)$$ $$|M| = m + m + 2 - (2m^2 + 1 + 1) = 2m + 2 - 2m^2 - 2 = -2m^2 + 2m$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$-2m^2 + 2m = 0 \implies 2m(-m + 1) = 0$$ Esto nos da dos soluciones: **$m = 0$** y **$m = 1$**. $$\boxed{|M| = -2m(m - 1)}$$

Analizamos los diferentes casos según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 0$ y $m \neq 1$** Si $m$ es distinto de 0 y 1, el determinante $|M| \neq 0$. Por lo tanto, existe un menor de orden 3 no nulo. **Resultado:** $\text{rg}(A) = 3$. **Caso 2: $m = 0$** La matriz $A$ queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Notamos que la fila 1 es la suma de las filas 2 y 3 ($F_1 = F_2 + F_3$): $1+0=1, 0+1=1, 1+1=2, 0+0=0, 1+1=2$. No, esto no es correcto para la última columna. Probemos restando: $F_1 - F_2 = (0, 1, 1, 0, 0)$. Esta es casi la fila 3, excepto por el último elemento. Calculamos el rango buscando un menor de orden 2 no nulo, por ejemplo: $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) \ge 2$. Comprobamos si hay algún menor de orden 3 no nulo usando la columna 5: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (0+0+1) - (0+1+1) = 1 - 2 = -1 \neq 0$$ Como existe un menor de orden 3 distinto de cero, el rango es 3. **Resultado:** $\text{rg}(A) = 3$ para $m=0$. **Caso 3: $m = 1$** La matriz $A$ queda: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ Las filas $F_2$ y $F_3$ son iguales. Por tanto, el rango no puede ser 3. El menor de orden 2 formado por las columnas 2 y 3 de las filas 1 y 2 es: $$\begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix} = 1 - 2 = -1 \neq 0$$ **Resultado:** $\text{rg}(A) = 2$. ✅ **Conclusión del apartado a:** $$\boxed{\text{Si } m \neq 1, \text{ rg}(A) = 3; \text{ si } m = 1, \text{ rg}(A) = 2}$$

**b) Para $m = 1$, calcula la solución, si existe, del sistema $A^t \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}$** Sustituimos $m=1$ en la matriz traspuesta $A^t$: $$A^t = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$$ El sistema de ecuaciones es: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \\ x + y + z = 0 \end{cases}$$ Como vemos, las ecuaciones 1, 2, 4 y 5 son idénticas. El sistema se reduce a sólo dos ecuaciones independientes: $$\begin{cases} x + y + z = 0 \\ 2x + y + z = 0 \end{cases}$$ 💡 **Tip:** Un sistema homogéneo siempre es compatible (tiene al menos la solución trivial $0,0,0$). Si el rango de la matriz es menor que el número de incógnitas, tendrá infinitas soluciones.

Tenemos un sistema de 2 ecuaciones con 3 incógnitas ($x, y, z$). El rango de la matriz de coeficientes es 2 (ya que $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} = 1-2 = -1 \neq 0$). Restamos la primera ecuación a la segunda: $$(2x + y + z) - (x + y + z) = 0 - 0 \implies x = 0$$ Sustituimos $x = 0$ en la primera ecuación: $$0 + y + z = 0 \implies y = -z$$ Tomamos $z$ como parámetro libre, $z = \lambda$ con $\lambda \in \mathbb{R}$. Entonces $y = -\lambda$. La solución general es: $$\begin{cases} x = 0 \\ y = -\lambda \\ z = \lambda \end{cases}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{(x, y, z) = (0, -\lambda, \lambda) \text{ para } \lambda \in \mathbb{R}}$$