Probabilidad y Estadística 2018 Aragon
Probabilidad de trabajadores bilingües y categorías
4. (1,5 puntos) En una empresa los trabajadores se clasifican en tres categorías: $A$, $B$ y $C$. El 30 % de los trabajadores pertenecen a la categoría $A$; el 25 % a la categoría $B$ y el resto a la categoría $C$. Además, se sabe que de los trabajadores de la categoría $A$ un 5 % habla inglés; mientras que de la categoría $B$ un 20 % habla inglés y de los trabajadores de la categoría $C$ un 60 % habla inglés.
c) (0,75 puntos) Si se elige al azar un trabajador de la empresa, ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés?
d) (0,75 puntos) Si se elige al azar un trabajador de la empresa y resulta que SI habla inglés, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría $C$?
Paso 1
Definición de sucesos y árbol de probabilidad
**c) (0,75 puntos) Si se elige al azar un trabajador de la empresa, ¿Cuál es la probabilidad de que hable inglés?**
Primero, definimos los sucesos que intervienen en el problema:
- $A$: El trabajador pertenece a la categoría $A$.
- $B$: El trabajador pertenece a la categoría $B$.
- $C$: El trabajador pertenece a la categoría $C$.
- $I$: El trabajador habla inglés.
- $\bar{I}$: El trabajador no habla inglés.
Extraemos los datos del enunciado:
- $P(A) = 0,30$
- $P(B) = 0,25$
- $P(C) = 1 - (0,30 + 0,25) = 0,45$ (ya que es el resto)
- $P(I|A) = 0,05$
- $P(I|B) = 0,20$
- $P(I|C) = 0,60$
Representamos la situación mediante un árbol de probabilidad:
Paso 2
Cálculo de la probabilidad total
Para calcular la probabilidad de que un trabajador hable inglés, aplicamos el **Teorema de la Probabilidad Total**:
$$P(I) = P(A) \cdot P(I|A) + P(B) \cdot P(I|B) + P(C) \cdot P(I|C)$$
Sustituimos los valores obtenidos anteriormente:
$$P(I) = 0,30 \cdot 0,05 + 0,25 \cdot 0,20 + 0,45 \cdot 0,60$$
$$P(I) = 0,015 + 0,05 + 0,27$$
$$P(I) = 0,335$$
💡 **Tip:** El Teorema de la Probabilidad Total se usa cuando un suceso (hablar inglés) puede ocurrir a través de varios caminos excluyentes (pertenecer a A, B o C).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(I) = 0,335}$$
(La probabilidad de que hable inglés es del **33,5 %**)
Paso 3
Cálculo de la probabilidad condicionada (Bayes)
**d) (0,75 puntos) Si se elige al azar un trabajador de la empresa y resulta que SI habla inglés, ¿Cuál es la probabilidad de que pertenezca a la categoría $C$?**
Se nos pide la probabilidad de que pertenezca a la categoría $C$ sabiendo que habla inglés, es decir, $P(C|I)$. Para ello aplicamos el **Teorema de Bayes**:
$$P(C|I) = \frac{P(C) \cdot P(I|C)}{P(I)}$$
Utilizamos el valor de $P(I)$ calculado en el apartado anterior:
$$P(C|I) = \frac{0,45 \cdot 0,60}{0,335}$$
$$P(C|I) = \frac{0,27}{0,335}$$
Realizamos la división:
$$P(C|I) \approx 0,80597...$$
💡 **Tip:** El Teorema de Bayes permite calcular probabilidades a posteriori, es decir, dada una consecuencia (hablar inglés), hallar la probabilidad de una causa (ser de la categoría C).
✅ **Resultado:**
$$\boxed{P(C|I) \approx 0,806}$$
(La probabilidad es aproximadamente del **80,6 %**)