Parámetros de una función y límite de la forma 1 a la infinito

**a) (2 puntos) Determine los valores de los parámetros $a$, $b$ y $c$ para que la función $f(x) = a(x - 1)^3 + bx + c$ pase por (1, 1), tenga pendiente 2 en ese punto y un máximo en $x=2$.** Primero, calculamos la derivada de la función $f(x)$ para usarla en las condiciones de la pendiente y el máximo relativo: $$f'(x) = 3a(x - 1)^2 + b$$ Ahora aplicamos las dos primeras condiciones dadas en el enunciado: 1. **Pasa por el punto (1, 1):** Esto significa que $f(1) = 1$. $$f(1) = a(1 - 1)^3 + b(1) + c = 1 \implies 0 + b + c = 1 \implies b + c = 1$$ 2. **Pendiente 2 en (1, 1):** La pendiente de la tangente es la derivada evaluada en ese punto, es decir, $f'(1) = 2$. $$f'(1) = 3a(1 - 1)^2 + b = 2 \implies 0 + b = 2 \implies b = 2$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si una función pasa por $(x_0, y_0)$, entonces $f(x_0) = y_0$. Si la pendiente de la recta tangente en ese punto es $m$, entonces $f'(x_0) = m$.

A partir de los resultados anteriores, ya conocemos el valor de $b$: $$b = 2$$ Sustituimos $b = 2$ en la ecuación $b + c = 1$ para hallar $c$: $$2 + c = 1 \implies c = 1 - 2 \implies c = -1$$ Finalmente, aplicamos la condición del **máximo relativo en $x = 2$**. En un extremo relativo (máximo o mínimo), la derivada debe ser cero: $f'(2) = 0$. $$f'(2) = 3a(2 - 1)^2 + b = 0$$ $$3a(1)^2 + 2 = 0 \implies 3a = -2 \implies a = -\frac{2}{3}$$ Para confirmar que es un máximo relativo, verificamos el signo de la segunda derivada $f''(x) = 6a(x-1)$ en $x=2$: $$f''(2) = 6\left(-\frac{2}{3}\right)(2-1) = -4 \lt 0$$ Como la segunda derivada es negativa, confirmamos que existe un máximo en $x=2$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{a = -\frac{2}{3}, \quad b = 2, \quad c = -1}$$

**b) (2 puntos) Determine el valor del límite: $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 2x} \right)^{\frac{3x^2 - 1}{x}}$** Primero analizamos el comportamiento de la base y del exponente por separado cuando $x \to +\infty$: - **Base:** $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 2x} = \frac{1}{1} = 1$ (al ser un cociente de polinomios del mismo grado). - **Exponente:** $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{x} = +\infty$ (el grado del numerador es mayor). Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Para resolver límites del tipo $1^{\infty}$, utilizamos la propiedad: $$\lim_{x \to a} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to a} g(x) \cdot (f(x) - 1)}$$

Aplicamos la fórmula para resolver la indeterminación $1^{\infty}$: $$L = e^{\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{x} \cdot \left( \frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 2x} - 1 \right)}$$ Operamos dentro del paréntesis realizando la resta de fracciones: $$\frac{x^2 - 3x + 2}{x^2 - 2x} - 1 = \frac{x^2 - 3x + 2 - (x^2 - 2x)}{x^2 - 2x} = \frac{-x + 2}{x^2 - 2x}$$ Ahora, multiplicamos por el exponente: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 1}{x} \cdot \frac{-x + 2}{x^2 - 2x} = \lim_{x \to +\infty} \frac{(3x^2 - 1)(-x + 2)}{x(x^2 - 2x)} = \lim_{x \to +\infty} \frac{-3x^3 + 6x^2 + x - 2}{x^3 - 2x^2}$$ Este límite de funciones racionales se resuelve comparando los términos de mayor grado: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{-3x^3 + 6x^2 + x - 2}{x^3 - 2x^2} = \frac{-3}{1} = -3$$ Por lo tanto, el valor final del límite es: $$L = e^{-3} = \frac{1}{e^3}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{\frac{1}{e^3}}$$