Posición relativa de plano y recta según un parámetro

**a) (0,75 puntos) Determine la posición del plano y la recta según los diferentes valores de $a$.** Para estudiar la posición relativa del plano $\pi$ y la recta $r$, analizamos el sistema de ecuaciones formado por la ecuación del plano y las dos ecuaciones que definen la recta: $$\begin{cases} 2ax + y + az = 4 \\ 2x + y + z = 2 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases}$$ Definimos la matriz de coeficientes $M$ y la matriz ampliada $M^*$: $$M = \begin{pmatrix} 2a & 1 & a \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{pmatrix}, \quad M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2a & 1 & a & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ 💡 **Tip:** El estudio de la posición relativa se basa en el Teorema de Rouché-Frobenius. Si el sistema tiene solución única, son secantes. Si es incompatible, son paralelos. Si tiene infinitas soluciones, la recta está contenida en el plano.

Calculamos el determinante de $M$ aplicando la regla de Sarrus: $$|M| = \begin{vmatrix} 2a & 1 & a \\ 2 & 1 & 1 \\ -1 & 1 & 2 \end{vmatrix}$$ $$|M| = (2a \cdot 1 \cdot 2) + (1 \cdot 1 \cdot (-1)) + (a \cdot 2 \cdot 1) - (a \cdot 1 \cdot (-1)) - (2a \cdot 1 \cdot 1) - (1 \cdot 2 \cdot 2)$$ $$|M| = 4a - 1 + 2a + a - 2a - 4 = 5a - 5$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: $$5a - 5 = 0 \implies 5a = 5 \implies a = 1$$ **Caso 1: $a \neq 1$** Si $a \neq 1$, entonces $|M| \neq 0$. Por lo tanto, $\text{rang}(M) = 3 = \text{rang}(M^*) = \text{nº incógnitas}$. Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado**. Esto significa que existe un único punto de intersección. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a \neq 1, \text{ la recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son secantes.}}$$

**Caso 2: $a = 1$** Si $a = 1$, el determinante $|M| = 0$, por lo que $\text{rang}(M) \lt 3$. Veamos el rango de $M$ y $M^*$: $$M^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 1 & 4 \\ 2 & 1 & 1 & 2 \\ -1 & 1 & 2 & 3 \end{array}\right)$$ Observamos que las filas 1 y 2 de la matriz de coeficientes son iguales, pero sus términos independientes son distintos ($4 \neq 2$). Esto ya indica una contradicción. Formalmente, calculamos un menor de orden 2 en $M$: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = 2 - 1 = 1 \neq 0 \implies \text{rang}(M) = 2.$$ Ahora calculamos un menor de orden 3 en $M^*$ usando la columna de términos independientes: $$\begin{vmatrix} 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 2 \\ 1 & 2 & 3 \end{vmatrix} = (3+2+8) - (4+4+3) = 13 - 11 = 2 \neq 0 \implies \text{rang}(M^*) = 3.$$ Como $\text{rang}(M) \neq \text{rang}(M^*)$, el sistema es **Incompatible**. ✅ **Resultado parcial:** $$\boxed{\text{Si } a = 1, \text{ la recta } r \text{ y el plano } \pi \text{ son paralelos.}}$$ 💡 **Tip:** Si el rango de la ampliada hubiera sido 2, la recta estaría contenida en el plano.

**b) (0,75 puntos) Para $a = 2$, determine la recta que es perpendicular al plano $\pi$ y pasa por el punto $P(0,1,0)$.** Si $a = 2$, la ecuación del plano $\pi$ es: $$\pi: 2(2)x + y + 2z = 4 \implies 4x + y + 2z = 4$$ Para que una recta $s$ sea perpendicular a un plano, su vector director $\vec{v}_s$ debe ser paralelo (o igual) al vector normal del plano $\vec{n}_\pi$. Extraemos el vector normal del plano $\pi$ a partir de sus coeficientes: $$\vec{n}_\pi = (4, 1, 2)$$ Por tanto, tomamos como vector director de nuestra recta: $$\vec{v}_s = (4, 1, 2)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que en la ecuación general del plano $Ax + By + Cz + D = 0$, el vector normal es $\vec{n} = (A, B, C)$.

Conocemos el punto $P(0, 1, 0)$ y el vector director $\vec{v}_s = (4, 1, 2)$. Podemos escribir la ecuación de la recta $s$ en su forma paramétrica: $$s: \begin{cases} x = 0 + 4\lambda \\ y = 1 + 1\lambda \\ z = 0 + 2\lambda \end{cases} \implies \begin{cases} x = 4\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}$$ O también en forma continua: $$\frac{x}{4} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z}{2}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{s: \begin{cases} x = 4\lambda \\ y = 1 + \lambda \\ z = 2\lambda \end{cases}}$$