Invertibilidad de matrices con parámetros y ecuaciones matriciales

**a) (1,5 puntos) Determine los valores del parámetro $k$ para los que la matriz $A - kI$ tenga inversa, siendo $I$ la matriz identidad de orden 3.** Una matriz cuadrada tiene inversa si y solo si su determinante es distinto de cero ($|M| \neq 0$). Empezamos construyendo la matriz $A - kI$: $$A - kI = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 3 \end{pmatrix} - k \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3-k & 0 & 1 \\ 0 & -k & 0 \\ 1 & 0 & 3-k \end{pmatrix}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que la matriz identidad $I$ tiene unos en la diagonal principal y ceros en el resto. Restar $kI$ equivale a restar $k$ a cada elemento de la diagonal principal de $A$.

Calculamos el determinante de la matriz resultante. Para facilitar el cálculo, desarrollamos por la segunda fila, ya que contiene dos ceros: $$|A - kI| = \begin{vmatrix} 3-k & 0 & 1 \\ 0 & -k & 0 \\ 1 & 0 & 3-k \end{vmatrix}$$ Desarrollando por el elemento $a_{22} = -k$: $$|A - kI| = (-k) \cdot \begin{vmatrix} 3-k & 1 \\ 1 & 3-k \end{vmatrix} = (-k) \left[ (3-k)^2 - 1 \right]$$ Expandimos el binomio y simplificamos: $$|A - kI| = (-k) (9 - 6k + k^2 - 1) = (-k) (k^2 - 6k + 8)$$ 💡 **Tip:** Desarrollar por una fila o columna con muchos ceros simplifica enormemente el cálculo de determinantes de orden 3.

Para que la matriz tenga inversa, el determinante debe ser distinto de cero: $$(-k) (k^2 - 6k + 8) \neq 0$$ Igualamos a cero para encontrar los valores críticos: 1. $-k = 0 \implies \mathbf{k = 0}$ 2. $k^2 - 6k + 8 = 0 \implies k = \dfrac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{2} = \dfrac{6 \pm 2}{2} \implies \mathbf{k = 4, k = 2}$ Por lo tanto, la matriz $A-kI$ tendrá inversa para cualquier valor de $k$ distinto de $0, 2$ y $4$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{k \in \mathbb{R} \setminus \{0, 2, 4\}}$$

**b) (1,5 puntos) Encuentre la matriz $X$ que verifica que $(A - 3I)X = 2I$.** Llamamos $B = A - 3I$. La ecuación es $BX = 2I$. Si $B$ es invertible, podemos despejar $X$ multiplicando por $B^{-1}$ por la izquierda: $$B^{-1}BX = B^{-1}(2I) \implies X = 2B^{-1}$$ Calculamos la matriz $B$ sustituyendo $k=3$ en la expresión hallada en el apartado anterior: $$B = A - 3I = \begin{pmatrix} 3-3 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 3-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Comprobamos si $B$ es invertible calculando su determinante: $$|B| = |A - 3I| = (-3)(3^2 - 6(3) + 8) = -3(9 - 18 + 8) = -3(-1) = 3$$ Como $|B| = 3 \neq 0$, la matriz $B$ tiene inversa y podemos resolver la ecuación. 💡 **Tip:** En ecuaciones matriciales, el orden del producto es fundamental. Si multiplicas por la izquierda en un lado, debes multiplicar por la izquierda en el otro.

Calculamos la matriz adjunta de $B$, $\text{Adj}(B)$, mediante los cofactores $C_{ij}$: - $C_{11} = +\begin{vmatrix} -3 & 0 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{12} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{13} = +\begin{vmatrix} 0 & -3 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 3$ - $C_{21} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{22} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1$ - $C_{23} = -\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{31} = +\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ -3 & 0 \end{vmatrix} = 3$ - $C_{32} = -\begin{vmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{vmatrix} = 0$ - $C_{33} = +\begin{vmatrix} 0 & 0 \\ 0 & -3 \end{vmatrix} = 0$ La matriz de cofactores es: $$\text{Cof}(B) = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Como es simétrica, $\text{Adj}(B) = \text{Cof}(B)^T = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix}$. Entonces: $$B^{-1} = \frac{1}{|B|} \text{Adj}(B) = \frac{1}{3} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 3 \\ 0 & -1 & 0 \\ 3 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1/3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Finalmente, calculamos $X = 2B^{-1}$: $$X = 2 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -1/3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2/3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Podemos verificar que $(A-3I)X = 2I$ realizando la multiplicación: $$\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \\ 0 & -3 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2/3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} = 2I$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 2 \\ 0 & -2/3 & 0 \\ 2 & 0 & 0 \end{pmatrix}}$$