Probabilidad y Distribución Binomial

**a) (0,75 puntos) Si se elige un alumno al azar, ¿cuál es la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes (uno o los dos)?** En primer lugar, definimos los sucesos según la información proporcionada en el enunciado: - $F$: Al alumno le gusta el fútbol. - $B$: Al alumno le gusta el balonmano. Los datos que nos da el problema son: - $P(F) = 0{}80$ - $P(B) = 0{}40$ - $P(F \cap B) = 0{}30$ (le gustan ambos) Podemos organizar estos datos en una **tabla de contingencia** (donde $\bar{F}$ y $\bar{B}$ representan los sucesos contrarios, es decir, que no les guste el deporte): $$\begin{array}{c|cc|c} & B & \bar{B} & \text{Total} \\\hline F & 0{}30 & 0{}50 & 0{}80 \\ \bar{F} & 0{}10 & 0{}10 & 0{}20 \\\hline \text{Total} & 0{}40 & 0{}60 & 1{}00 \end{array}$$ 💡 **Tip:** En una tabla de contingencia, la suma de las filas y columnas debe coincidir con los totales marginales y la suma total siempre es $1$ (o $100\%$).

La pregunta pide la probabilidad de que le guste alguno de los dos deportes, es decir, que le guste el fútbol, el balonmano o ambos. Esto se corresponde con el suceso unión: $F \cup B$. Utilizamos la fórmula de la probabilidad de la unión de dos sucesos cualesquiera: $$P(F \cup B) = P(F) + P(B) - P(F \cap B)$$ Sustituimos los valores conocidos: $$P(F \cup B) = 0{}80 + 0{}40 - 0{}30 = 0{}90$$ 💡 **Tip:** Recuerda que si restamos la intersección es porque al sumar $P(F)$ y $P(B)$ la zona común se ha contabilizado dos veces. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(F \cup B) = 0{}90}$$

**b) (0,75 puntos) Se eligen 10 alumnos al azar con reemplazamiento... Calcule la probabilidad de que solo a 3 les guste el fútbol.** Al realizar el experimento de elegir un alumno 10 veces de forma independiente (con reemplazamiento), y observar en cada caso si le gusta el fútbol (éxito) o no (fracaso), estamos ante una **distribución binomial**. Definimos la variable aleatoria: $X$: número de alumnos a los que les gusta el fútbol de un total de $10$. Los parámetros de nuestra distribución $B(n, p)$ son: - $n = 10$ (número de repeticiones o alumnos elegidos). - $p = P(F) = 0{}80$ (probabilidad de éxito, es decir, que le guste el fútbol). - $q = 1 - p = 0{}20$ (probabilidad de fracaso). Por tanto, $X \sim B(10, 0{}80)$. 💡 **Tip:** El hecho de que sea "con reemplazamiento" nos asegura que la probabilidad de éxito $p$ se mantiene constante en cada elección y los sucesos son independientes.

Buscamos la probabilidad de que exactamente a 3 alumnos les guste el fútbol, es decir, $P(X = 3)$. La fórmula general de la distribución binomial para $k$ éxitos es: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ Sustituyendo nuestros valores ($n=10$, $k=3$, $p=0{}8$, $q=0{}2$): $$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{}8^3 \cdot 0{}2^{10-3}$$ El enunciado indica que no es preciso finalizar los cálculos, por lo que dejamos la expresión indicada: $$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{}8^3 \cdot 0{}2^7$$ Donde el número combinatorio se define como $\binom{10}{3} = \frac{10!}{3!(10-3)!}$. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot 0{}8^3 \cdot 0{}2^7}$$