Estudio de una función con raíces e integral racional

**a.1.) (1 punto) Determine el dominio y las asíntotas de la función $f(x)$.** Para determinar el dominio de $f(x) = \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}}$, debemos analizar las restricciones impuestas por la raíz cuadrada y el denominador. 1. El radicando de una raíz cuadrada debe ser no negativo: $x^2 + 1 \ge 0$. Como $x^2$ siempre es mayor o igual a cero, $x^2 + 1$ siempre es mayor o igual a 1. Esta condición se cumple para todo $x \in \mathbb{R}$. 2. El denominador no puede ser cero: $\sqrt{x^2 + 1} \neq 0$. Dado que $x^2 + 1 \ge 1$, la raíz nunca será cero. Por lo tanto, el dominio es todo el conjunto de los números reales: $$\boxed{\text{Dom}(f) = \mathbb{R}}$$

Buscamos las asíntotas de la función: **Asíntotas Verticales (AV):** Como el dominio es $\mathbb{R}$ y la función es continua en todo su dominio (no hay puntos donde el denominador se anule), **no existen asíntotas verticales**. **Asíntotas Horizontales (AH):** Calculamos los límites cuando $x \to \pm\infty$: - Para $x \to +\infty$: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to +\infty} \frac{x}{x} = 1 \implies \mathbf{y = 1}$$ - Para $x \to -\infty$: $$\lim_{x \to -\infty} \frac{x + 1}{\sqrt{x^2 + 1}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{x}{(-x)} = -1 \implies \mathbf{y = -1}$$ *(Nota: Al sacar $x^2$ de la raíz hacia $-\infty$, recordamos que $\sqrt{x^2} = |x| = -x$)*. **Asíntotas Oblicuas (AO):** Como existen asíntotas horizontales en ambos sentidos del infinito, **no existen asíntotas oblicuas**. ✅ **Resultado (Asíntotas):** $$\boxed{\text{AV: No hay; AH: } y = 1 \text{ (en } +\infty\text{), } y = -1 \text{ (en } -\infty\text{)}}$$

**a.2.) (1 punto) Determine los máximos y mínimos relativos de la función $f(x)$.** Calculamos la primera derivada $f'(x)$ usando la regla del cociente: $$f'(x) = \frac{1 \cdot \sqrt{x^2+1} - (x+1) \cdot \frac{2x}{2\sqrt{x^2+1}}}{x^2 + 1}$$ Simplificamos multiplicando numerador y denominador por $\sqrt{x^2+1}$: $$f'(x) = \frac{(x^2+1) - x(x+1)}{(x^2+1)\sqrt{x^2+1}} = \frac{x^2+1-x^2-x}{(x^2+1)^{3/2}} = \frac{1-x}{(x^2+1)^{3/2}}$$ Buscamos los puntos críticos haciendo $f'(x) = 0$: $$1 - x = 0 \implies x = 1$$ Analizamos el signo de $f'(x)$ a ambos lados de $x=1$. El denominador $(x^2+1)^{3/2}$ siempre es positivo, por lo que el signo depende solo del numerador $(1-x)$: $$\begin{array}{c|ccc} x & (-\infty, 1) & 1 & (1, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & 0 & - \\ f(x) & \nearrow & \text{Máx} & \searrow \end{array}$$ Como la función pasa de crecer a decrecer en $x=1$, hay un **máximo relativo**. La ordenada es: $$f(1) = \frac{1+1}{\sqrt{1^2+1}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$$ ✅ **Resultado (Extremos):** $$\boxed{\text{Máximo relativo en } (1, \sqrt{2}) \text{. No existen mínimos relativos.}}$$

**a.3.) (1 punto) Determine la recta tangente a la función $f(x)$ en el punto $x = 2$.** La ecuación de la recta tangente en $x = a$ es $y - f(a) = f'(a)(x - a)$. 1. Calculamos la imagen en el punto $x = 2$: $$f(2) = \frac{2 + 1}{\sqrt{2^2 + 1}} = \frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}$$ 2. Calculamos la pendiente usando la derivada hallada anteriormente, $f'(x) = \frac{1-x}{(x^2+1)^{3/2}}$: $$f'(2) = \frac{1 - 2}{(2^2 + 1)^{3/2}} = \frac{-1}{5^{3/2}} = \frac{-1}{5\sqrt{5}} = -\frac{\sqrt{5}}{25}$$ 3. Sustituimos en la fórmula: $$y - \frac{3\sqrt{5}}{5} = -\frac{\sqrt{5}}{25}(x - 2)$$ 💡 **Tip:** Puedes dejarla en forma punto-pendiente o pasarla a forma explícita multiplicando términos. ✅ **Resultado (Recta tangente):** $$\boxed{y = -\frac{\sqrt{5}}{25}x + \frac{17\sqrt{5}}{25}}$$ *(Nota: $\frac{2\sqrt{5}}{25} + \frac{15\sqrt{5}}{25} = \frac{17\sqrt{5}}{25}$)*

**b) (1 punto) Calcule: $\int \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} dx$** Se trata de una integral de una función racional donde el grado del numerador (2) es mayor que el del denominador (1). Procedemos a realizar la división polinómica: Dividimos $x^2 - 3x + 3$ entre $x - 1$: $$(x^2 - 3x + 3) \div (x - 1) = x - 2 + \frac{1}{x - 1}$$ Comprobación: $(x-2)(x-1) + 1 = x^2 - x - 2x + 2 + 1 = x^2 - 3x + 3$. Reescribimos la integral: $$\int \frac{x^2 - 3x + 3}{x - 1} dx = \int \left( x - 2 + \frac{1}{x - 1} \right) dx$$ Ahora integramos término a término: 1. $\int x \, dx = \frac{x^2}{2}$ 2. $\int -2 \, dx = -2x$ 3. $\int \frac{1}{x - 1} \, dx = \ln|x - 1|$ 💡 **Tip:** Recuerda que la integral de $\frac{1}{u}$ es $\ln|u| + C$. ✅ **Resultado (Integral):** $$\boxed{\frac{x^2}{2} - 2x + \ln|x - 1| + C}$$