Ecuación del plano a partir de punto y recta

**2. (1,5 puntos) Determine la ecuación del plano que pasa por el punto (0, 0, 0) y contiene a la recta:** Para determinar la ecuación de un plano $\pi$, necesitamos un punto $P$ del mismo y dos vectores directores $\vec{u}$ y $\vec{v}$ que no sean paralelos entre sí. Como el plano contiene a la recta $r$, el vector director de la recta $\vec{v}_r$ será uno de los vectores directores del plano, y cualquier punto $Q$ de la recta será también un punto del plano. La recta viene dada por la intersección de dos planos. Obtenemos su vector director mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: $$\vec{n}_1 = (2, -1, 0), \quad \vec{n}_2 = (0, 3, -2)$$ $$\vec{v}_r = \vec{n}_1 \times \vec{n}_2 = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & -1 & 0 \\ 0 & 3 & -2 \end{vmatrix}$$ Calculamos por Sarrus: $$\vec{v}_r = \vec{i}(-1)(-2) + \vec{j}(0)(0) + \vec{k}(2)(3) - [\vec{k}(-1)(0) + \vec{i}(3)(0) + \vec{j}(2)(-2)]$$ $$\vec{v}_r = 2\vec{i} + 6\vec{k} - (-4\vec{j}) = (2, 4, 6)$$ Podemos simplificar el vector director dividiendo por 2: **$\vec{v}_r = (1, 2, 3)$**. Ahora buscamos un punto $Q \in r$ asignando un valor a una de las variables, por ejemplo $y = 0$: $$2x - 0 - 2 = 0 \implies 2x = 2 \implies x = 1$$ $$3(0) - 2z + 4 = 0 \implies -2z = -4 \implies z = 2$$ El punto es **$Q(1, 0, 2)$**. 💡 **Tip:** El vector director de una recta dada como intersección de dos planos $\pi_1$ y $\pi_2$ es siempre perpendicular a ambos vectores normales, por eso usamos el producto vectorial $\vec{n}_1 \times \vec{n}_2$.

Ya tenemos el punto del plano dado por el enunciado: $P(0, 0, 0)$. Como el plano también contiene al punto $Q(1, 0, 2)$ de la recta, podemos definir un segundo vector director para el plano mediante el vector que une ambos puntos: $$\vec{w} = \vec{PQ} = Q - P = (1, 0, 2) - (0, 0, 0) = (1, 0, 2)$$ Ahora tenemos los elementos necesarios para definir el plano $\pi$: - Punto: $P(0, 0, 0)$ - Vector director 1: $\vec{v}_r = (1, 2, 3)$ - Vector director 2: $\vec{w} = (1, 0, 2)$ Observamos que $\vec{v}_r$ y $\vec{w}$ no son proporcionales, por lo que determinan un plano.

La ecuación general del plano se obtiene resolviendo el determinante formado por un punto genérico $(x, y, z)$ y los elementos obtenidos: $$\begin{vmatrix} x - 0 & y - 0 & z - 0 \\ 1 & 2 & 3 \\ 1 & 0 & 2 \end{vmatrix} = 0$$ Desarrollamos el determinante (por ejemplo, por la primera fila): $$x \cdot \begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} - y \cdot \begin{vmatrix} 1 & 3 \\ 1 & 2 \end{vmatrix} + z \cdot \begin{vmatrix} 1 & 2 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$$ Calculamos los determinantes $2 \times 2$: $$x(4 - 0) - y(2 - 3) + z(0 - 2) = 0$$ $$4x - y(-1) - 2z = 0$$ $$4x + y - 2z = 0$$ 💡 **Tip:** También podrías haber usado el método del **haz de planos**. El haz de planos que contienen a la recta $r$ es: $\alpha(2x - y - 2) + \beta(3y - 2z + 4) = 0$. Sustituyendo el punto $(0,0,0)$, obtenemos $-2\alpha + 4\beta = 0 \implies \alpha = 2\beta$. Si elegimos $\beta = 1$, entonces $\alpha = 2$, llegando al mismo resultado. ✅ **Resultado final:** $$\boxed{4x + y - 2z = 0}$$