Discusión y resolución de sistemas con parámetros y rango de matrices

**a) (1 punto) Determine los valores del parámetro $m$ para los que ese sistema de ecuaciones es compatible determinado, compatible indeterminado o incompatible.** Escribimos el sistema en forma matricial $A \cdot X = B$, donde $A$ es la matriz de coeficientes y $A^*$ la matriz ampliada: $$A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & m \\ m & m-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}; \quad A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & m & m \\ m & m-1 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Para discutir el sistema según el Teorema de Rouché-Frobenius, calculamos primero el determinante de la matriz $A$.

Calculamos $|A|$ utilizando la regla de Sarrus: $$|A| = \begin{vmatrix} 1 & 1 & m \\ m & m-1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}$$ $$|A| = [1 \cdot (m-1) \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 + m \cdot m \cdot 1] - [1 \cdot (m-1) \cdot m + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot m \cdot 1]$$ $$|A| = (m - 1 + 1 + m^2) - (m^2 - m + 1 + m)$$ $$|A| = (m^2 + m) - (m^2 + 1) = m - 1$$ Igualamos el determinante a cero para encontrar los valores críticos: $$m - 1 = 0 \implies m = 1$$ 💡 **Tip:** El sistema tendrá solución única (determinado) siempre que el determinante de la matriz de coeficientes sea distinto de cero.

Analizamos los casos según el valor de $m$: **Caso 1: $m \neq 1$** Si $m \neq 1$, entonces $|A| \neq 0$. Esto implica que el rango de $A$ es 3. Como el número de incógnitas también es 3, el rango de la matriz ampliada $A^*$ necesariamente es 3. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 3 = n^\circ \text{ incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Determinado (solución única)**. **Caso 2: $m = 1$** Si $m = 1$, la matriz ampliada es: $$A^* = \left(\begin{array}{ccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 \end{array}\right)$$ Observamos que la fila 1 ($F_1$) y la fila 3 ($F_3$) son idénticas, por lo que podemos prescindir de una de ellas. Estudiamos el rango de $A$ y $A^*$: - En $A$, el menor $\begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{vmatrix} = -1 \neq 0$, por lo que $\text{rg}(A) = 2$. - En $A^*$, al ser $F_1 = F_3$, el rango también es 2. $$\text{rg}(A) = \text{rg}(A^*) = 2 < 3 = n^\circ \text{ incógnitas}$$ Según el Teorema de Rouché-Frobenius, el sistema es **Compatible Indeterminado (infinitas soluciones)**. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\begin{cases} m \neq 1 \implies \text{Sistema Compatible Determinado} \\ m = 1 \implies \text{Sistema Compatible Indeterminado} \end{cases}}$$

**b) (1 punto) Encuentre las soluciones de ese sistema cuando $m = 1$.** Sustituimos $m = 1$ en el sistema original. Como vimos en el apartado anterior, la primera y tercera ecuación son iguales, por lo que nos quedamos con las dos ecuaciones linealmente independientes: $$\begin{cases} x + y + z = 1 \\ x + z = 2 \end{cases}$$ Para resolver este sistema con infinitas soluciones (SCI), tomamos una de las variables como parámetro. Sea $z = \lambda$: 1. De la segunda ecuación: $x + \lambda = 2 \implies **x = 2 - \lambda**$. 2. Sustituimos en la primera: $(2 - \lambda) + y + \lambda = 1 \implies 2 + y = 1 \implies **y = -1**$. 💡 **Tip:** En un SCI con rango 2 y 3 incógnitas, siempre necesitamos 1 parámetro ($3 - 2 = 1$). ✅ **Resultado:** $$\boxed{x = 2 - \lambda, \quad y = -1, \quad z = \lambda \quad \text{con } \lambda \in \mathbb{R}}$$

**c) (1 punto) Considere las matrices $C = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix}$ y $D = ( 1, 2, -1)$. Determine el rango de la matriz producto $CD$.** Primero realizamos el producto de la matriz columna $C$ (3x1) por la matriz fila $D$ (1x3). El resultado será una matriz de dimensión 3x3: $$CD = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \cdot 1 & 1 \cdot 2 & 1 \cdot (-1) \\ -1 \cdot 1 & -1 \cdot 2 & -1 \cdot (-1) \\ 0 \cdot 1 & 0 \cdot 2 & 0 \cdot (-1) \end{pmatrix}$$ $$CD = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$

Para hallar el rango, analizamos la dependencia lineal de las filas de la matriz resultante: $$CD = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ -1 & -2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$$ Observamos lo siguiente: - La fila 3 ($F_3$) es nula. - La fila 2 ($F_2$) es proporcional a la fila 1 ($F_1$), concretamente $F_2 = -F_1$. - La fila 1 ($F_1$) no es nula. Por tanto, solo hay **una fila linealmente independiente**. 💡 **Tip:** El rango de un producto de una columna por una fila (siempre que no sean nulas) es siempre 1. ✅ **Resultado:** $$\boxed{\text{rg}(CD) = 1}$$