Probabilidad condicionada y distribución binomial

**a) (0,75 puntos) En una clase de 20 alumnos, 10 estudian ruso, 12 practican algún deporte y tan solo 2 hacen ambas cosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, al escoger un alumno al azar, si estudia ruso, practique algún deporte?** Primero, definimos los sucesos: - $R$: El alumno estudia ruso. - $D$: El alumno practica deporte. Datos del enunciado: - Total de alumnos: $N = 20$ - Alumnos que estudian ruso: $n(R) = 10$ - Alumnos que practican deporte: $n(D) = 12$ - Alumnos que hacen ambas cosas: $n(R \cap D) = 2$ Podemos organizar esta información en una **tabla de contingencia** para visualizar mejor el resto de valores: $$\begin{array}{|c|c|c|c|} \hline & R & \bar{R} & \text{Total} \\ \hline D & 2 & 10 & 12 \\ \hline \bar{D} & 8 & 2 & 10 \\ \hline \text{Total} & 10 & 10 & 20 \\ \hline \end{array}$$ 💡 **Tip:** En problemas con dos variables cualitativas y totales conocidos, las tablas de contingencia facilitan el cálculo de probabilidades condicionadas.

Nos piden la probabilidad de que practique deporte sabiendo que estudia ruso. Esto es una **probabilidad condicionada**: $P(D|R)$. Utilizamos la definición de probabilidad condicionada: $$P(D|R) = \frac{P(D \cap R)}{P(R)}$$ O, trabajando directamente con el número de alumnos (casos favorables entre casos posibles dentro del grupo de ruso): $$P(D|R) = \frac{n(D \cap R)}{n(R)}$$ Sustituimos los valores: $$P(D|R) = \frac{2}{10} = 0,2$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(D|R) = 0,2}$$ (También se puede expresar como $\frac{1}{5}$ o el $20\%$).

**b) (0,75 puntos) Un tirador de pistola olímpica, tiene una probabilidad de 0,8 de hacer blanco. Si dispara 12 veces, ¿cuál es la probabilidad de que haga 10 o más blancos?. (NO es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen y sin hacer los cálculos).** Estamos ante un experimento de Bernouilli que se repite $n$ veces de forma independiente, donde cada disparo solo tiene dos resultados posibles (blanco o no blanco). Definimos la variable aleatoria: $X$: número de blancos en 12 disparos. Los parámetros son: - Número de ensayos: $n = 12$ - Probabilidad de éxito (hacer blanco): $p = 0,8$ - Probabilidad de fracaso: $q = 1 - p = 0,2$ Por tanto, la variable sigue una **distribución Binomial**: $X \sim B(12, \, 0,8)$. 💡 **Tip:** La fórmula general de la distribución binomial para obtener exactamente $k$ éxitos es $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k q^{n-k}$, donde $\binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

Se nos pide calcular la probabilidad de que haga 10 o más blancos, es decir, $P(X \ge 10)$. Esto equivale a la suma de las probabilidades de obtener exactamente 10, 11 y 12 blancos: $$P(X \ge 10) = P(X=10) + P(X=11) + P(X=12)$$ Aplicamos la fórmula de la binomial para cada caso: - Para $k=10$: $P(X=10) = \binom{12}{10} \cdot 0,8^{10} \cdot 0,2^{2}$ - Para $k=11$: $P(X=11) = \binom{12}{11} \cdot 0,8^{11} \cdot 0,2^{1}$ - Para $k=12$: $P(X=12) = \binom{12}{12} \cdot 0,8^{12} \cdot 0,2^{0}$ Sumamos las expresiones tal como pide el enunciado (sin calcular el valor final): $$P(X \ge 10) = \binom{12}{10} \cdot 0,8^{10} \cdot 0,2^{2} + \binom{12}{11} \cdot 0,8^{11} \cdot 0,2 + \binom{12}{12} \cdot 0,8^{12}$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X \ge 10) = \binom{12}{10} \cdot 0,8^{10} \cdot 0,2^{2} + \binom{12}{11} \cdot 0,8^{11} \cdot 0,2 + \binom{12}{12} \cdot 0,8^{12}}$$