Límites, optimización y cálculo de áreas

**a) (1,5 puntos) Calcule el límite: $$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x} - \frac{x^3 - x^2 - x + 2}{x^2} \right)^{\frac{3+x^2}{x}}$$.** En primer lugar, simplificamos la expresión de la base realizando la resta de fracciones: $$\frac{x^2 + 1}{x} - \frac{x^3 - x^2 - x + 2}{x^2} = \frac{x(x^2 + 1) - (x^3 - x^2 - x + 2)}{x^2}$$ $$= \frac{x^3 + x - x^3 + x^2 + x - 2}{x^2} = \frac{x^2 + 2x - 2}{x^2}$$ Ahora analizamos el límite de la base y del exponente cuando $x \to +\infty$: - Base: $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 2x - 2}{x^2} = 1$ (cociente de polinomios del mismo grado). - Exponente: $\lim_{x \to +\infty} \frac{3+x^2}{x} = +\infty$. Estamos ante una indeterminación del tipo **$1^{\infty}$**. 💡 **Tip:** Las indeterminaciones de tipo $1^{\infty}$ se resuelven mediante la fórmula $e^{\lim_{x \to a} g(x)(f(x)-1)}$.

Aplicamos la fórmula para límites de tipo exponencial: $$\lim_{x \to +\infty} f(x)^{g(x)} = e^{\lim_{x \to +\infty} g(x)[f(x)-1]}$$ Calculamos el límite del exponente: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{3+x^2}{x} \left( \frac{x^2 + 2x - 2}{x^2} - 1 \right) = \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3}{x} \left( \frac{x^2 + 2x - 2 - x^2}{x^2} \right)$$ $$= \lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 3}{x} \cdot \frac{2x - 2}{x^2} = \lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 2x^2 + 6x - 6}{x^3}$$ Como el grado del numerador y del denominador es el mismo (grado 3), el límite es el cociente de los coeficientes principales: $$\lim_{x \to +\infty} \frac{2x^3 - 2x^2 + 6x - 6}{x^3} = 2$$ Por tanto, el resultado del límite original es: $$\boxed{e^2}$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para resolver límites de polinomios en el infinito, solo importan los términos de mayor grado.

**b) (1,5 puntos) De entre todos los triángulos rectángulos que tiene un área de $1 \text{ cm}^2$, determine el que tiene la hipotenusa de longitud mínima y proporcione las longitudes de los tres lados de ese triángulo.** Sean $x$ e $y$ las longitudes de los catetos del triángulo rectángulo. El área es: $$A = \frac{x \cdot y}{2} = 1 \implies xy = 2 \implies y = \frac{2}{x}$$ La función que queremos minimizar es la longitud de la hipotenusa $h$. Por el teorema de Pitágoras: $$h(x) = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{x^2 + \left(\frac{2}{x}\right)^2} = \sqrt{x^2 + \frac{4}{x^2}}$$ Para facilitar el cálculo, podemos minimizar el cuadrado de la hipotenusa $H(x) = h(x)^2$, ya que el valor de $x$ que minimiza $h^2$ también minimiza $h$ (siempre que $h > 0$): $$H(x) = x^2 + \frac{4}{x^2} = x^2 + 4x^{-2}$$ El dominio de nuestra variable es $x \in (0, +\infty)$.

Calculamos la derivada de $H(x)$ para encontrar los puntos críticos: $$H'(x) = 2x - 8x^{-3} = 2x - \frac{8}{x^3}$$ Igualamos a cero: $$2x - \frac{8}{x^3} = 0 \implies 2x^4 = 8 \implies x^4 = 4 \implies x = \sqrt[4]{4} = \sqrt{2}$$ Tomamos solo el valor positivo ya que $x$ representa una longitud. Comprobamos si es un mínimo estudiando el signo de la derivada: $$ \begin{array}{c|ccc} x & (0, \sqrt{2}) & \sqrt{2} & (\sqrt{2}, +\infty) \\ \hline H'(x) & - & 0 & + \end{array} $$ Como la función decrece antes de $x = \sqrt{2}$ y crece después, tenemos un **mínimo relativo** en $x = \sqrt{2}$. Calculamos los lados del triángulo: - Cateto 1: $x = \sqrt{2} \text{ cm}$. - Cateto 2: $y = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2} \text{ cm}$. - Hipotenusa: $h = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + (\sqrt{2})^2} = \sqrt{2 + 2} = 2 \text{ cm}$. ✅ **Resultado (Lados):** $$\boxed{\text{Catetos: } \sqrt{2} \text{ cm, } \sqrt{2} \text{ cm; Hipotenusa: } 2 \text{ cm}}$$

**c) (1 punto) Calcule el área limitada por la curva $f(x) = x^2 + x$ y la recta $g(x) = x + 4$.** Primero, buscamos los puntos de intersección entre $f(x)$ y $g(x)$ igualando ambas funciones: $$x^2 + x = x + 4 \implies x^2 = 4 \implies x = \pm 2$$ Los límites de integración serán $x = -2$ y $x = 2$. Determinamos cuál función queda por encima en el intervalo $(-2, 2)$. Tomamos un punto de prueba, por ejemplo $x = 0$: - $f(0) = 0$ - $g(0) = 4$ Como $g(0) > f(0)$, la recta está por encima de la parábola en este intervalo. 💡 **Tip:** Para calcular el área entre dos curvas, restamos la función superior menos la inferior: $\int_{a}^{b} [f_{sup}(x) - f_{inf}(x)] dx$.

Planteamos la integral del área: $$A = \int_{-2}^{2} (g(x) - f(x)) dx = \int_{-2}^{2} (x + 4 - (x^2 + x)) dx = \int_{-2}^{2} (4 - x^2) dx$$ Calculamos la primitiva: $$\int (4 - x^2) dx = 4x - \frac{x^3}{3}$$ Aplicamos la regla de Barrow paso a paso: $$A = \left[ 4x - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \left( 4(2) - \frac{2^3}{3} \right) - \left( 4(-2) - \frac{(-2)^3}{3} \right)$$ $$A = \left( 8 - \frac{8}{3} \right) - \left( -8 + \frac{8}{3} \right) = \frac{16}{3} - \left( -\frac{16}{3} \right) = \frac{32}{3}$$ ✅ **Resultado (Área):** $$\boxed{\text{Área } = \frac{32}{3} \text{ u}^2 \approx 10,67 \text{ u}^2}$$ "interactive": { "kind": "desmos", "data": { "expressions": [ { "id": "f", "latex": "f(x)=x^2+x", "color": "#2563eb" }, { "id": "g", "latex": "g(x)=x+4", "color": "#ef4444" }, { "id": "area", "latex": "f(x) \\le y \\le g(x) \\{ -2 \\le x \\le 2 \\}", "color": "#93c5fd" } ], "bounds": { "left": -4, "right": 4, "bottom": -2, "top": 8 } } }