Recta contenida en un plano con parámetros

Para que una recta $r$ esté contenida en un plano $\pi$, deben cumplirse simultáneamente dos condiciones geométricas: 1. **El vector director de la recta, $\vec{v_r}$, debe ser perpendicular al vector normal del plano, $\vec{n_\pi}$**. Esto garantiza que la recta sea paralela o esté contenida en el plano. Matemáticamente: $\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0$. 2. **Cualquier punto de la recta $P_r$ debe pertenecer al plano**. Esto garantiza que no sean paralelos externos, sino que la recta descanse sobre el plano. Matemáticamente: $P_r \in \pi$. Visualmente, la situación es la siguiente:

La recta $r$ viene dada como intersección de dos planos. Su vector director $\vec{v_r}$ se obtiene mediante el producto vectorial de los vectores normales de dichos planos: Plano 1: $x + y + z = 2 \implies \vec{n_1} = (1, 1, 1)$ Plano 2: $2x + 3y + z = 3 \implies \vec{n_2} = (2, 3, 1)$ Calculamos el producto vectorial: $$\vec{v_r} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \end{vmatrix}$$ Resolvemos el determinante por adjuntos de la primera fila: $$\vec{v_r} = \vec{i} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 3 & 1 \end{vmatrix} - \vec{j} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \end{vmatrix} + \vec{k} \begin{vmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 3 \end{vmatrix}$$ $$\vec{v_r} = \vec{i}(1-3) - \vec{j}(1-2) + \vec{k}(3-2) = -2\vec{i} + \vec{j} + \vec{k}$$ $$\boxed{\vec{v_r} = (-2, 1, 1)}$$

Para encontrar un punto $P_r$ de la recta, asignamos un valor arbitrario a una de las coordenadas en el sistema de la recta. Sea $z = 0$: $$\begin{cases} x + y = 2 \\ 2x + 3y = 3 \end{cases}$$ Despejamos $y$ de la primera ecuación: $y = 2 - x$. Sustituimos en la segunda: $$2x + 3(2 - x) = 3$$ $$2x + 6 - 3x = 3 \implies -x = -3 \implies x = 3$$ Sustituimos $x$ para hallar $y$: $$y = 2 - 3 = -1$$ Obtenemos el punto: $$\boxed{P_r(3, -1, 0)}$$

El punto $P_r(3, -1, 0)$ debe satisfacer la ecuación del plano $\pi: mx + y + nz = 4$. Sustituimos las coordenadas: $$m(3) + (-1) + n(0) = 4$$ $$3m - 1 = 4$$ $$3m = 5 \implies m = \frac{5}{3}$$ 💡 **Tip:** Si un punto pertenece a un plano, sus coordenadas deben cumplir la ecuación general del plano.

El vector director de la recta $\vec{v_r} = (-2, 1, 1)$ debe ser perpendicular al vector normal del plano $\vec{n_\pi} = (m, 1, n)$. El producto escalar debe ser cero: $$\vec{v_r} \cdot \vec{n_\pi} = 0 \implies (-2, 1, 1) \cdot (m, 1, n) = 0$$ $$-2m + 1 + n = 0$$ Como ya sabemos que $m = \frac{5}{3}$, sustituimos para hallar $n$: $$-2\left(\frac{5}{3}\right) + 1 + n = 0$$ $$-\frac{10}{3} + \frac{3}{3} + n = 0$$ $$-\frac{7}{3} + n = 0 \implies n = \frac{7}{3}$$ ✅ **Resultado final:** $$\boxed{m = \frac{5}{3}, \quad n = \frac{7}{3}}$$