Ecuación matricial y rango con parámetros

**a) (1,5 puntos) Dadas las matrices $A$ y $B$, encuentre la matriz $X$, de dimensión 3x3, que resuelve la ecuación matricial: $AX + B = A^2$** Primero, aislamos el término que contiene la matriz incógnita $X$. Restamos $B$ en ambos lados de la ecuación: $$AX = A^2 - B$$ Para despejar $X$, debemos multiplicar por la izquierda por la inversa de $A$ ($A^{-1}$), siempre que esta exista: $$A^{-1}AX = A^{-1}(A^2 - B)$$ $$I \cdot X = A^{-1}A^2 - A^{-1}B$$ $$X = A - A^{-1}B$$ Alternativamente, podemos simplificar la expresión si calculamos $A^2$ primero, ya que si $A^2 = I$, la resolución es mucho más directa. 💡 **Tip:** Recuerda que en ecuaciones matriciales el orden de los factores importa. Multiplicar por la izquierda por $A^{-1}$ no es lo mismo que por la derecha.

Calculamos $A^2$ para ver si facilita el cálculo: $$A^2 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = I$$ Como $A^2 = I$, se deduce que la matriz $A$ es su propia inversa, es decir, **$A^{-1} = A$**. Además, esto simplifica nuestra ecuación original: $$AX = I - B$$ Multiplicamos por $A^{-1}$ (que es $A$) por la izquierda: $$X = A(I - B)$$ 💡 **Tip:** Una matriz que cumple $A^2 = I$ se llama matriz involutiva.

Calculamos la diferencia $I - B$: $$I - B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ 2 & 0 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1-1 & 0-(-1) & 0-1 \\ 0-1 & 1-(-1) & 0-0 \\ 0-2 & 0-0 & 1-2 \end{pmatrix}$$ $$I - B = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Finalmente, multiplicamos $A$ por $(I - B)$: $$X = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & 1 & -1 \\ -1 & 2 & 0 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}$$ Realizamos el producto fila por columna: - Fila 1: $(0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1) + 0 \cdot (-2), \; 0 \cdot 1 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 0, \; 0 \cdot (-1) + 1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1)) = (-1, 2, 0)$ - Fila 2: $(1 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 0 \cdot (-2), \; 1 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 0 \cdot 0, \; 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1)) = (0, 1, -1)$ - Fila 3: $(0 \cdot 0 + 0 \cdot (-1) + 1 \cdot (-2), \; 0 \cdot 1 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 0, \; 0 \cdot (-1) + 0 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)) = (-2, 0, -1)$ ✅ **Resultado (matriz X):** $$\boxed{X = \begin{pmatrix} -1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ -2 & 0 & -1 \end{pmatrix}}$$

**b) (1,5 puntos) Determine el rango de la matriz $C$ según los diferentes valores del parámetro $k$** El rango de una matriz $3 \times 3$ será 3 si su determinante es distinto de cero. Calculamos $|C|$ mediante la regla de Sarrus: $$|C| = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & k \\ k & k & 1 \end{vmatrix}$$ $$|C| = (2 \cdot 2 \cdot 1) + (1 \cdot k \cdot k) + (3 \cdot 4 \cdot k) - [ (k \cdot 2 \cdot 3) + (k \cdot k \cdot 2) + (1 \cdot 4 \cdot 1) ]$$ $$|C| = 4 + k^2 + 12k - (6k + 2k^2 + 4)$$ $$|C| = 4 + k^2 + 12k - 6k - 2k^2 - 4 = -k^2 + 6k$$ Buscamos los valores de $k$ que hacen que el determinante sea cero: $$-k^2 + 6k = 0 \implies k(-k + 6) = 0$$ Esto ocurre si **$k = 0$** o **$k = 6$**. 💡 **Tip:** El rango es el número de filas o columnas linealmente independientes. Si el determinante es no nulo, el rango es máximo.

Analizamos los distintos casos: **Caso 1: $k \neq 0$ y $k \neq 6$** Si $k$ no es ni $0$ ni $6$, entonces $|C| \neq 0$. Por lo tanto, el rango es máximo: $$\text{rango}(C) = 3$$ **Caso 2: $k = 0$** Sustituimos $k=0$ en la matriz $C$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ Como $|C| = 0$, el rango es menor que 3. Buscamos un menor de orden 2 distinto de cero: $$\begin{vmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 0 \end{vmatrix} = 0 - 12 = -12 \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rango}(C) = 2$**. **Caso 3: $k = 6$** Sustituimos $k=6$ en la matriz $C$: $$C = \begin{pmatrix} 2 & 1 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 6 & 6 & 1 \end{pmatrix}$$ Observamos que la segunda fila es el doble de la primera ($F_2 = 2F_1$), por lo que son dependientes. Buscamos un menor de orden 2 que incluya la tercera fila: $$\begin{vmatrix} 2 & 6 \\ 6 & 1 \end{vmatrix} = 2 - 36 = -34 \neq 0$$ Por tanto, **$\text{rango}(C) = 2$**. ✅ **Resultado final (Rango de C):** $$\boxed{\begin{cases} \text{Si } k \neq 0 \text{ y } k \neq 6, & \text{rango}(C) = 3 \\ \text{Si } k = 0 \text{ o } k = 6, & \text{rango}(C) = 2 \end{cases}}$$