Distribución Binomial: Lanzamiento de un dado

**a) (0,75 puntos) Determine la probabilidad de que salga un número par en todos los lanzamientos.** En primer lugar, identificamos el experimento: lanzamos un dado 10 veces. Cada lanzamiento es independiente de los demás y solo tiene dos resultados posibles respecto a nuestro interés (sale par o no sale par). Definimos la variable aleatoria: $X =$ "número de veces que sale un número par en los 10 lanzamientos". Al ser un dado equilibrado con caras $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$, los números pares son $\{2, 4, 6\}$. La probabilidad de éxito $p$ en cada lanzamiento es: $$p = P(\text{par}) = \frac{3}{6} = 0,5$$ La probabilidad de fracaso es $q = 1 - p = 0,5$. Dado que realizamos $n = 10$ ensayos independientes, la variable $X$ sigue una **distribución binomial**: $$X \sim B(10;\, 0,5)$$ 💡 **Tip:** Recuerda que para aplicar una distribución binomial $B(n, p)$, los ensayos deben ser independientes y la probabilidad de éxito $p$ debe ser constante en cada uno de ellos.

Para calcular la probabilidad de obtener exactamente $k$ éxitos, utilizamos la fórmula de la distribución binomial: $$P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot q^{n-k}$$ En este apartado, nos piden que salga par en **todos** los lanzamientos, es decir, $k = 10$: $$P(X = 10) = \binom{10}{10} \cdot (0,5)^{10} \cdot (0,5)^{10-10}$$ $$P(X = 10) = 1 \cdot (0,5)^{10} \cdot (0,5)^0 = (0,5)^{10}$$ Calculamos el valor final: $$(0,5)^{10} = \left(\frac{1}{2}\right)^{10} = \frac{1}{1024} \approx 0,000976$$ ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 10) = \frac{1}{1024} \approx 0,000976}$$

**b) (0,75 puntos) Determine la probabilidad de que salga un número par exactamente en tres lanzamientos. (NO es preciso finalizar los cálculos, puede dejarse indicada la probabilidad, precisando los números que la definen y sin hacer los cálculos).** Aplicamos nuevamente la fórmula de la distribución binomial $X \sim B(10;\, 0,5)$, pero esta vez para $k = 3$ éxitos: $$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^{10-3}$$ $$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot (0,5)^3 \cdot (0,5)^7$$ Agrupando las potencias de la misma base, obtenemos la expresión final indicada: $$P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot (0,5)^{10}$$ 💡 **Tip:** El número combinatorio $\binom{n}{k}$ representa las distintas formas de elegir los $k$ lanzamientos donde ocurrirá el éxito dentro del total de $n$ lanzamientos. ✅ **Resultado:** $$\boxed{P(X = 3) = \binom{10}{3} \cdot (0,5)^{10} = \binom{10}{3} \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{10}}$$